الرهان أكثر ذكاء مع محاكاة مونت كارلو

في مجال التمويل ، هناك قدر لا بأس به من عدم اليقين والمخاطر التي ينطوي عليها تقدير القيمة المستقبلية للأرقام أو المبالغ بسبب مجموعة واسعة من النتائج المحتملة. تعد محاكاة مونت كارلو (MCS) إحدى التقنيات التي تساعد على تقليل عدم اليقين الذي ينطوي عليه تقدير النتائج المستقبلية. يمكن تطبيق MCS على النماذج المعقدة غير الخطية أو استخدامها لتقييم دقة وأداء النماذج الأخرى. كما يمكن تنفيذها في إدارة المخاطر ، وإدارة المحافظ ، ومشتقات التسعير ، والتخطيط الاستراتيجي ، وتخطيط المشاريع ، ونمذجة التكلفة وغيرها من المجالات.

تعريف

MCS هي تقنية تحول أوجه عدم اليقين في متغيرات إدخال النموذج إلى توزيعات الاحتمال. من خلال الجمع بين التوزيعات واختيار القيم منها بشكل عشوائي ، فإنه يعيد حساب النموذج المحاكى عدة مرات ويبرز احتمالية المخرجات.

سمات اساسية

يتيح MCS استخدام عدة مدخلات في نفس الوقت لإنشاء توزيع الاحتمال لواحد أو أكثر من المخرجات. يمكن تعيين أنواع مختلفة من توزيعات الاحتمالات إلى مدخلات النموذج. عندما يكون التوزيع غير معروف ، يمكن اختيار التوزيع الذي يمثل أفضل ملاءمة. يميز استخدام الأرقام العشوائية MCS كطريقة عشوائية. يجب أن تكون الأرقام العشوائية مستقلة ؛ لا يجب أن توجد علاقة بينهما. تقوم MCS بإنشاء الإخراج كنطاق بدلاً من قيمة ثابتة وتوضح مدى احتمال حدوث قيمة الإخراج في النطاق.

بعض توزيعات الاحتمالات المستخدمة بشكل متكرر في MCS

التوزيع الطبيعي / الغوسي - التوزيع المستمر المطبق في المواقف التي يتم فيها إعطاء الوسط والانحراف المعياري ويمثل الوسط القيمة الأكثر احتمالا للمتغير. إنه متماثل حول الوسط ولا يحده.

التوزيع غير الطبيعي - التوزيع المستمر المحدد بواسطة الانحراف المعياري والمتوسط. هذا مناسب لمتغير يتراوح من الصفر إلى ما لا نهاية ، مع انحراف إيجابي ولوغاريتم طبيعي موزع عادة.

التوزيع الثلاثي - التوزيع المستمر مع الحد الأدنى والحد الأقصى للقيم الثابتة. يحدها الحد الأدنى والحد الأقصى للقيم ويمكن أن يكون إما متماثل (القيمة الأكثر احتمالا = متوسط = متوسط) أو غير متماثل.

التوزيع الموحد - التوزيع المستمر يحدها الحد الأدنى والحد الأقصى المعروف القيم. على عكس التوزيع الثلاثي ، فإن احتمال حدوث القيم بين الحد الأدنى والحد الأقصى هو نفسه.

التوزيع الأسي - توزيع مستمر يستخدم لتوضيح الوقت بين الحوادث المستقلة ، شريطة أن يكون معدل التكرار معروفًا.

الرياضيات وراء MCS

خذ بعين الاعتبار أن لدينا دالة ذات قيمة حقيقية g (X) مع وظيفة تردد الاحتمال P (x) (إذا كانت X منفصلة) ، أو دالة كثافة الاحتمال f (x) (إذا كانت X مستمرة). بعد ذلك يمكننا تحديد القيمة المتوقعة لـ g (X) بشكل منفصل ومستمر على التوالي:

$\begin{matrix} E (ز (X)) = Σ_{- \infty}^{+ \infty} ز (س) P (س) ، \\ أين P (س) > 0 و Σ_{- \infty}^{+ \infty} P (س) = 1 \\ E (ز (X)) = \int_{- \infty}^{+ \infty} ز (س) F (س) د س ، \\ أين F (س) > 0 و \int_{- \infty}^{+ \infty} F (س) د س = 1 \\ بعد ذلك ، قم بعمل رسومات عشوائية لـ ، تسمى ن X (س_{1} ، \dots ، س_{ن}) \\ أشواط المحاكمة أو أشواط المحاكاة ، وحساب ز (س_{1}) ، \dots ، ز (س_{ن}) \end{matrix} \ تبدأ {الانحياز} & E (ز (X)) = \ مبلغ ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} ز (خ) P (خ)، \\ و\ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ text {where} P (x)> 0 \ text {and} sum ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} P (x) = 1 \\ & E (g (X)) = \ int ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} g (x) f (x) ، dx، \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ text {where} f (x)> 0 \ text {and} int ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} f (x) ، dx = 1 \\ & \ text {التالي ، قم بعمل رسومات عشوائية $ $ $ $ X (x_1 ، \ ldots ، x_n) $ ، تسمى} \ & \ text {تشغيل تجريبي أو تشغيل المحاكاة ، وحساب $ g (x_1) ، \ ldots ، g (x_n) $} \ & \ text {وابحث عن متوسط $ g (x) $ للعينة:} نهاية {} الانحياز$ E (g (X)) = - ∞∑ + ∞ g (x) P (x) ، حيث P (x)> 0 و − ∞∑ + ∞ P (x) = 1E (g (X)) = ∫ − ∞ + ∞ g (x) f (x) dx ، حيث f (x)> 0 و ∫ − ∞ + ∞ f (x) dx = 1 التالي ، اصنع n رسومات عشوائية من X (x1 ،… ، xn) ، أشواط تسمى أو تشغيل المحاكاة ، وحساب g (x1) ،… ، g (xn)

$\begin{matrix} ز_{ن}^{μ} (س) = \frac{1}{ن} Σ_{أنا = 1}^{ن} ز (س_{أنا}) ، الذي يمثل النهائي محاكاة \\ قيمة ال E (ز (X)) . \\ وبالتالي ز_{ن}^{μ} (X) = \frac{1}{ن} Σ_{أنا = 1}^{ن} ز (X) سيكون مونتي كارلو \\ مقدر لل E (ز (X)) . \\ مثل ن \to \infty ، ز_{ن}^{μ} (X) \to E (ز (X)) ، وبالتالي نحن الآن قادرون على \\ حساب التشتت حول المتوسط المقدر بـ \\ الفرق غير المتحيز لل ز_{ن}^{μ} (X) : \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & g ^ \ mu_n (x) = \ frac {1} {n} sum ^ n_ {i = 1} g (x_i) ، \ text {الذي يمثل المحاكاة النهائية} \ & \ text { قيمة} E (g (X)). \\\\ & \ text {لذلك} g ^ \ mu_n (X) = \ frac {1} {n} sum ^ n_ {i = 1} g (X) text {will be Monte Carlo} \ & \ text {Estimator of} E (g (X)). \\\\ & \ text {As} n \ to \ infty، g ^ \ mu_n (X) إلى E (g (X)) ، \ text {وبالتالي نحن قادرون الآن على} \ & \ text {حساب التشتت حول المتوسط المقدر مع} \ & \ text {التباين غير المتحيز لـ} g ^ \ mu_n (X) النص {:} \ وفار (ز ^ \ mu_n (X)) = \ فارك {1} {ن 1} مبلغ ^ N_ {ط = 1} (ز (x_i) -g ^ \ mu_n (خ)) ^ 2. \ نهاية {} الانحياز$ gnμ (x) = n1 i = 1∑n g (xi) ، والذي يمثل القيمة النهائية المحاكاة لـ E (g (X)). لذلك gnμ (X) = n1 i = 1∑n g (X) ستكون Monte Carloestimator لـ E (g (X)) ، حيث n n = ∞ ، gnμ (X) → E (g (X)) ، وبالتالي يمكننا الآن حساب التشتت حول المتوسط المقدر مع التباين غير المتحيز لـ gnμ (X):

مثال بسيط

كيف ستؤثر حالة عدم اليقين في سعر الوحدة ومبيعات الوحدة والتكاليف المتغيرة على EBITD؟

مبيعات وحدة حقوق الطبع والنشر) - (التكاليف المتغيرة + التكاليف الثابتة)

دعنا نوضح حالة عدم اليقين في المدخلات - سعر الوحدة ، مبيعات الوحدة والتكاليف المتغيرة - باستخدام التوزيع الثلاثي ، المحدد بواسطة الحد الأدنى والحد الأقصى لقيم المدخلات من الجدول.

حقوق النشر

مخطط الحساسية

يمكن أن يكون مخطط الحساسية مفيدًا جدًا عندما يتعلق الأمر بتحليل تأثير المدخلات على المخرجات. ما تقوله هو أن مبيعات الوحدات تمثل 62 ٪ من التباين في EBITD المحاكاة ، والتكاليف المتغيرة 28.6 ٪ وسعر الوحدة 9.4 ٪. العلاقة بين مبيعات الوحدة و EBITD وبين سعر الوحدة و EBITD إيجابية أو زيادة في مبيعات الوحدة أو سعر الوحدة ستؤدي إلى زيادة في EBITD. التكاليف المتغيرة و EBITD ، من ناحية أخرى ، ترتبط سلبًا ، ومن خلال خفض التكاليف المتغيرة سنزيد EBITD.

حقوق النشر

احذر من أن تحديد عدم اليقين لقيمة الإدخال من خلال توزيع الاحتمال الذي لا يتطابق مع القيمة الحقيقية وأخذ العينات منها سيعطي نتائج غير صحيحة. بالإضافة إلى ذلك ، قد لا يكون الافتراض بأن متغيرات الإدخال مستقلة. قد تأتي النتائج المضللة من مدخلات حصرية بشكل متبادل أو إذا وجد ارتباط كبير بين توزيعتين أو أكثر من توزيعات المدخلات.

الخط السفلي

تقنية MCS واضحة ومرنة. لا يمكن أن تمحو عدم اليقين والمخاطر ، ولكن يمكن أن تجعلها أسهل للفهم من خلال نسب الخصائص الاحتمالية إلى المدخلات والمخرجات من نموذج. يمكن أن يكون مفيدًا للغاية لتحديد المخاطر والعوامل المختلفة التي تؤثر على المتغيرات المتوقعة ، وبالتالي ، يمكن أن تؤدي إلى تنبؤات أكثر دقة. لاحظ أيضًا أن عدد التجارب يجب ألا يكون صغيراً للغاية ، حيث قد لا يكون كافيًا لمحاكاة النموذج ، مما يؤدي إلى حدوث تجمع في القيم.

جدول المحتويات: