تعريف نظرية بايز

ما هي نظرية بايز؟

نظرية بايز ، سميت على اسم عالم الرياضيات البريطاني توماس بايز في القرن الثامن عشر ، هي صيغة رياضية لتحديد الاحتمال الشرطي. توفر النظرية طريقة لمراجعة التنبؤات أو النظريات الموجودة (احتمالات التحديث) المقدمة بأدلة جديدة أو إضافية. في مجال التمويل ، يمكن استخدام نظرية بايز لتقييم مخاطر إقراض الأموال للمقترضين المحتملين.

تسمى نظرية بايز أيضًا قانون قاعدة بايز أو قانون بايز وهي أساس مجال إحصاءات بايز.

الماخذ الرئيسية

تسمح لك نظرية بايز بتحديث الاحتمالات المتوقعة لحدث ما من خلال دمج معلومات جديدة. تم تسمية نظرية بايز على اسم عالم الرياضيات في القرن الثامن عشر توماس بايز. وغالبًا ما تستخدم في التمويل في تحديث تقييم المخاطر.

الصيغة عن نظرية بايز هي

$\begin{matrix} P (أ | ب) = \frac{P (أ ⋂ ب)}{P (ب)} = \frac{P (أ) \cdot P (ب | أ)}{P (ب)} \\ أين: \\ P (أ) = احتمال حدوث \\ P (ب) = احتمال حدوث ب \\ P (أ | ب) = احتمال A معين B \\ P (ب | أ) = احتمال ب تعطى أ \\ P (أ ⋂ ب)) = احتمال حدوث كل من A و B \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & P \ left (A | B \ right) = \ frac {P \ left (A \ bigcap {B} right)} {P \ left (B \ right)} = \ frac {P \ left (A \ right) cdotP \ left (B} {P \ left (B \ right)} \ & \ textbf {where:} \ & P \ left (A \ right) = \ text {احتمال حدوث A } \ & P \ left (B \ right) = \ text {احتمال حدوث B} \ & P \ left (A | B \ right) = \ text {احتمال A محدد B} \ & P \ left (B | A \ right) = \ text {احتمال B المعطى A} \ & P \ left (A \ bigcap {B} right)) = \ text {احتمال حدوث A و B}} \ \ end {} الانحياز$ P (A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) حيث: P (A) = احتمال حدوث A (P)) = احتمال B occurringP (A∣B) = احتمال A معين BP (B∣A) = احتمال B معين AP (A⋂B)) = احتمال حدوث كل من A و B

شرح نظرية بايز

تطبيقات النظرية واسعة الانتشار ولا تقتصر على المجال المالي. على سبيل المثال ، يمكن استخدام نظرية بايز لتحديد دقة نتائج الاختبار الطبي من خلال مراعاة مدى احتمال إصابة أي شخص بمرض والدقة العامة للاختبار. تعتمد نظرية بايز على دمج توزيعات الاحتمالات السابقة من أجل توليد احتمالات لاحقة. الاحتمال السابق ، في الاستدلال الإحصائي لبيزي ، هو احتمال وقوع حدث قبل جمع البيانات الجديدة. هذا هو أفضل تقييم منطقي لاحتمال التوصل إلى نتيجة بناءً على المعرفة الحالية قبل إجراء التجربة. الاحتمال الخلفي هو الاحتمال المنقح لحدث ما بعد أخذ المعلومات الجديدة في الاعتبار. يتم احتساب الاحتمال الخلفي عن طريق تحديث الاحتمال السابق باستخدام نظرية بايز. من الناحية الإحصائية ، الاحتمال الخلفي هو احتمال وقوع الحدث A بالنظر إلى أن الحدث B قد حدث.

ومن ثم ، تعطي نظرية بايز احتمال وقوع حدث بناءً على معلومات جديدة مرتبطة أو قد تكون مرتبطة بهذا الحدث. يمكن أيضًا استخدام الصيغة لمعرفة مدى تأثر احتمال وقوع حدث بمعلومات افتراضية جديدة ، على افتراض أن المعلومات الجديدة سوف تتحول إلى حقيقة. على سبيل المثال ، قل بطاقة واحدة يتم سحبها من مجموعة كاملة من 52 ورقة. احتمال أن تكون البطاقة ملكًا 4 مقسومًا على 52 ، أي ما يعادل 1/13 أو 7.69٪ تقريبًا. تذكر أن هناك 4 ملوك على سطح السفينة. الآن ، لنفترض أن البطاقة المحددة هي بطاقة وجه. احتمال أن تكون البطاقة المحددة ملكًا ، نظرًا لأنها بطاقة وجه ، 4 مقسومة على 12 ، أو 33.3٪ تقريبًا ، حيث توجد 12 بطاقة وجه على سطح السفينة.

اشتقاق نظرية بايز مع مثال

نظرية بايز تأتي ببساطة من بديهيات الاحتمال الشرطي. الاحتمال الشرطي هو احتمال وقوع حدث بالنظر إلى وقوع حدث آخر. على سبيل المثال ، قد يسأل سؤال احتمال بسيط: "ما هو احتمال انخفاض سعر سهم Amazon.com، Inc. (NYSE: AMZN)؟" يأخذ الاحتمالية الشرطية هذا السؤال خطوة إلى الأمام من خلال طرح السؤال التالي: "ما هو احتمال انخفاض سعر سهم AMZN بالنظر إلى أن مؤشر داو جونز الصناعي انخفض في وقت سابق؟"

يمكن التعبير عن الاحتمال المشروط لـ A بالنظر إلى حدوث B على النحو التالي:

إذا كانت A هي: "هبوط سعر AMZN" فإن P (AMZN) هو احتمال انخفاض AMZN ؛ و B هي: "DJIA معطلة بالفعل" ، و P (DJIA) هو احتمال سقوط DJIA ؛ ثم يقرأ تعبير الاحتمال الشرطي كـ "احتمال انخفاض AMZN بسبب انخفاض DJIA يساوي احتمال انخفاض سعر AMZN وتراجع DJIA بسبب احتمال حدوث انخفاض في مؤشر DJIA.

P (AMZN | DJIA) = P (AMZN و DJIA) / P (DJIA)

P (AMZN و DJIA) هو احتمال حدوث كل من A و B. هذا هو نفس احتمالية حدوث A مضروبة في احتمال حدوث B بالنظر إلى حدوث A ، معبراً عنها P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). حقيقة أن هذين التعبيرين متساويين يؤدي إلى نظرية بايز ، والذي هو مكتوب على النحو التالي:

if ، P (AMZN و DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)

ثم P (AMZN | DJIA) = / P (DJIA).

حيث P (AMZN) و P (DJIA) هما احتمالية هبوط أمازون ومؤشر داو جونز ، دون النظر إلى بعضهما البعض.

تشرح الصيغة العلاقة بين احتمال الفرضية قبل رؤية الدليل على أن P (AMZN) ، واحتمال الفرضية بعد الحصول على الأدلة P (AMZN | DJIA) ، مع إعطاء فرضية للأمازون المعطاة في داو.

مثال عددي لنظرية بايز

كمثال عددي ، تخيل أن هناك اختبارًا للعقار يكون دقيقًا بنسبة 98٪ ، مما يعني 98٪ من الوقت الذي يظهر فيه نتيجة إيجابية حقيقية للشخص الذي يستخدم الدواء و 98٪ من الوقت الذي يظهر فيه نتيجة سلبية حقيقية لغير مستخدمي المخدرات. بعد ذلك ، افترض أن 0.5٪ من الأشخاص يستخدمون الدواء. إذا كان الشخص الذي تم اختياره في اختبارات عشوائية موجبة للدواء ، فيمكن إجراء الحساب التالي لمعرفة ما إذا كان احتمال أن يكون الشخص بالفعل مستخدمًا للدواء أم لا.

(0.98 × 0.005) / = 0.0049 / (0.0049 + 0.0199) = 19.76٪

توضح نظرية بايز أنه حتى لو ثبتت صحة إصابة شخص ما في هذا السيناريو ، فمن الأرجح أن الشخص ليس من متعاطي المخدرات.

جدول المحتويات: