فهم نموذج تسعير خيار ذات الحدين

تحديد أسعار الأسهم

من الصعب الاتفاق على تسعير دقيق لأي أصل قابل للتداول - ولهذا السبب تتغير أسعار الأسهم باستمرار. في الواقع ، بالكاد تقوم الشركات بتغيير تقييماتها على أساس يومي ، لكن أسعار الأسهم وتقييماتها تتغير كل ثانية تقريبًا. هذه الصعوبة في التوصل إلى توافق في الآراء حول التسعير الصحيح لأية أصول قابلة للتداول تؤدي إلى فرص تحكيم قصيرة الأجل.

لكن الكثير من الاستثمارات الناجحة تتلخص في سؤال بسيط يتعلق بالتقييم في الوقت الحاضر - ما هو السعر الحالي المناسب اليوم مقابل عائد مستقبلي متوقع؟

تقييم الخيارات ذات الحدين

في السوق التنافسية ، لتجنب فرص المراجحة ، يجب أن يكون للأصول ذات هياكل العائد المتماثلة نفس السعر. لقد كان تقييم الخيارات مهمة صعبة وتؤدي الاختلافات في الأسعار إلى فرص التحكيم. لا يزال Black-Scholes أحد أكثر النماذج شيوعًا المستخدمة لخيارات التسعير ولكن توجد به قيود.

نموذج تسعير خيار ذات الحدين هو طريقة شائعة أخرى تستخدم لخيارات التسعير.

أمثلة

افترض أن هناك خيار استدعاء لسهم معين بسعر السوق الحالي 100 دولار. يحتوي خيار at-the-money (ATM) على سعر إضراب قدره 100 دولار مع وقت انتهاء الصلاحية لمدة عام واحد. هناك متداولان ، بيتر وباولا ، يتفقان على أن سعر السهم سيرتفع إما إلى 110 دولارات أو ينخفض إلى 90 دولارًا في عام واحد.

إنهم يتفقون على مستويات الأسعار المتوقعة في إطار زمني معين من عام واحد ولكنهم يختلفون حول احتمال الحركة الصعودية أو الهبوطية. يعتقد بيتر أن احتمال ارتفاع سعر السهم إلى 110 دولار هو 60 ٪ ، في حين أن بولا تعتقد أنه 40 ٪.

بناءً على ذلك ، من سيكون على استعداد لدفع المزيد من سعر خيار الاتصال؟ ربما بيتر ، كما أنه يتوقع وجود احتمال كبير لهذه الخطوة صعودا.

حسابات الخيارات الثنائية

الأصلان ، الذي يعتمد عليه التقييم ، هما خيار الاستدعاء والسهم الأساسي. هناك اتفاق بين المشاركين على أن سعر السهم الأساسي يمكن أن ينتقل من 100 دولار حاليًا إلى 110 دولارات أو 90 دولارًا في عام واحد ولا توجد تحركات سعرية أخرى ممكنة.

في عالم خالٍ من المراجحة ، إذا كان عليك إنشاء محفظة تتكون من هذين الأصلين ، فإن خيار الاستدعاء والأسهم الأساسية ، بحيث بغض النظر عن المكان الذي يذهب إليه السعر الأساسي - 110 دولارات أو 90 دولارًا - يبقى صافي العائد على المحفظة دائمًا كما هو. لنفترض أنك اشتريت أسهم "d" من خيارات مكالمة واحدة وخيارات قصيرة لإنشاء هذه الحافظة.

إذا ارتفع السعر إلى 110 دولارات ، فستكون قيمة أسهمك 110 دولارات * د ، وستفقد 10 دولارات على المكالمة القصيرة. ستكون القيمة الصافية لمحفظتك (110 - 10).

إذا انخفض السعر إلى 90 دولارًا ، فسيبلغ سعر أسهمك 90 دولارًا * ، وينتهي الخيار بلا قيمة. القيمة الصافية لمحفظتك ستكون (90d).

$\begin{matrix} ح (د) - م = ل (د) \\ أين: \\ ح = أعلى سعر محتمل الكامنة \\ د = عدد الأسهم الأساسية \\ م = الأموال المفقودة على المكالمة القصيرة \\ ل = أدنى سعر محتمل الكامنة \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & h (d) - m = l (d) \ & \ textbf {where:} \ & h = \ text {أعلى سعر أساسي محتمل محتمل} \ & d = \ text {عدد المشاركات الأساسية} \ & m = \ text {الأموال المفقودة عند استحقاق المكالمة القصيرة} \ & l = \ text {أدنى سعر أساسي محتمل} \ \ end {محاذاة}$ h (d) −m = l (d) حيث: h = أعلى سعر محتمل الكامنة = عدد الأسهم الأساسية = الأموال المفقودة عند استحقاق المكالمة القصيرة = أدنى سعر محتمل كامن

لذلك ، إذا اشتريت نصف سهم ، بافتراض أن عمليات الشراء الكسرية ممكنة ، فستتمكن من إنشاء محفظة بحيث تظل قيمتها كما هي في كلتا الحالتين المحتملتين خلال الإطار الزمني المحدد لسنة واحدة.

$\begin{matrix} 110 د - 10 = 90 د \\ د = \frac{1}{2} \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \ \ end {محاذاة}$ 110D-10 = = 21 90dd

قيمة الحافظة هذه ، المشار إليها بـ (90d) أو (110d - 10) = 45 ، هي سنة واحدة. لحساب قيمتها الحالية ، يمكن خصمها من معدل العائد الخالي من المخاطر (على افتراض 5 ٪).

$\begin{matrix} القيمة الحالية & = 90 د \times {البريد}^{(- 5 ٪ \times 1 عام)} \\ = 45 \times 0.9523 \\ = 42.85 \end{matrix} \ start {align} text {Present Value} & = 90d \ times e ^ {(-5 \٪ \ times 1 \ text {Year})} \ & = 45 \ times 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ إنهاء {} الانحياز$ القيمة الحالية = 90d × e (−5٪ × 1 سنة) = 45 × 0.9523 = 42.85

نظرًا لأن المحفظة تتكون في الوقت الحالي من حصة من الأسهم الأساسية (بسعر السوق يبلغ 100 دولار) ومكالمة قصيرة واحدة ، يجب أن تكون مساوية للقيمة الحالية.

$\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times سعر الدعوة = $ 42.85 \\ سعر الدعوة = $ 7.14 ، أي سعر المكالمة اليوم \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & \ frac {1} {2} مرة 100 - 1 \ مرة \ نص {Call Price} = \ $ 42.85 \\ & \ text {Call Price} = \ $ 7.14 \ text {، أي سعر الاتصال اليوم} \ \ end {محاذاة}$ 21 × 100−1 × سعر المكالمة = 42.85 $ سعر الاتصال = 7.14 دولار ، أي سعر الاتصال اليوم

نظرًا لأن ذلك يعتمد على افتراض أن قيمة المحفظة تظل كما هي بغض النظر عن الطريقة التي يذهب بها السعر الأساسي ، فإن احتمال حدوث حركة صعودية أو هبوطية لا يلعب أي دور. تظل المحفظة خالية من المخاطر بغض النظر عن تحركات الأسعار الأساسية.

في كلتا الحالتين (من المفترض أن ترتفع إلى 110 دولارات وتنخفض إلى 90 دولارًا) ، تكون محفظتك محايدة تجاه المخاطر وتحقق معدل عائد خالٍ من المخاطر.

وبالتالي ، سيكون كل من التجار ، بيتر وباولا ، على استعداد لدفع نفس مبلغ المكالمة 7.14 دولار لخيار الشراء هذا ، على الرغم من اختلاف تصوراتهم عن احتمالات التحركات الصعودية (60 ٪ و 40 ٪). لا تهم الاحتمالات المتصورة بشكل فردي في تقييم الخيار.

لنفترض بدلاً من ذلك أن الاحتمالات الفردية مهمة ، فقد تكون فرص المراجحة قد قدمت نفسها. في العالم الواقعي ، توجد فرص المراجحة هذه مع وجود فروق طفيفة في الأسعار وتختفي على المدى القصير.

ولكن أين هو التقلب المفرط في كل هذه الحسابات ، وهو عامل مهم وحساس يؤثر على تسعير الخيارات؟

يتم بالفعل تضمين التقلب بواسطة طبيعة تعريف المشكلة. بافتراض وجود حالتين (واثنتين فقط - ومن هنا جاءت التسمية "ذات الحدين") لمستويات الأسعار (110 دولارات و 90 دولارًا) ، فإن التقلب ضمني في هذا الافتراض ويتم تضمينه تلقائيًا (10٪ في كلتا الحالتين في هذا المثال).

الأسود سكولز

ولكن هل هذا النهج صحيح ومتسق مع أسعار Black-Scholes الشائعة الاستخدام؟ نتائج حاسبة الخيارات (بإذن من منظمة المؤتمر الإسلامي) تتطابق بشكل وثيق مع القيمة المحسوبة:

لسوء الحظ ، فإن العالم الحقيقي ليس بسيطًا مثل "دولتين فقط."

هل من الممكن تضمين كل هذه المستويات المتعددة في نموذج التسعير ذي الحدين الذي يقتصر على مستويين فقط؟ نعم ، هذا ممكن للغاية ، ولكن لفهم أنه يتطلب بعض الرياضيات البسيطة.

رياضيات بسيطة

لتعميم هذه المشكلة والحل:

"X" هو سعر السوق الحالي للسهم و "X * u" و "X * d" هي الأسعار المستقبلية للحركات الصعودية والهبوط "t" بعد سنوات. سيكون العامل "u" أكبر من واحد لأنه يشير إلى تحرك لأعلى و "d" تقع بين صفر وواحد. على سبيل المثال أعلاه ، u = 1.1 و d = 0.9.

مردودات خيار الاتصال هي "P _up " و "P _dn " _للحركة لأعلى ولأسفل في وقت انتهاء الصلاحية.

$\begin{matrix} VUM = س \times X \times ش - P_{فوق} \\ أين: \\ VUM = قيمة المحفظة في حالة وجود تحرك للأعلى \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & \ text {VUM} = s \ الأوقات X \ الأوقات u - P_ \ text {up} \ & \ textbf {where:} \ & \ text {VUM} = \ text {قيمة الحافظة في حالة وجود تحرك للأعلى} \ \ end {محاذاة}$ VUM = s × X × u up Pup حيث: VUM = قيمة الحافظة في حالة حدوث تحرك للأعلى

$\begin{matrix} VDM = س \times X \times د - P_{أسفل} \\ أين: \\ VDM = قيمة المحفظة في حالة انخفاض الحركة \end{matrix} \ start {align} & \ text {VDM} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \ & \ textbf {where:} \ & \ text {VDM} = \ text {قيمة الحافظة في حالة تحرك لأسفل} \ \ end {محاذاة}$ VDM = s × X × d − Pdown حيث: VDM = قيمة المحفظة في حالة وجود حركة هبوطية

لتقييم مماثل في كلتا الحالتين من حركة السعر:

$س \times X \times ش - P_{فوق} = س \times X \times د - P_{أسفل} s \ times X \ times u - P_ \ text {up} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down}$ الصورة × X × ش-الجرو = ق × X × د-Pdown

$\begin{matrix} س & = \frac{P_{فوق} - P_{أسفل}}{X \times (ش - د)} \\ = عدد الأسهم للشراء \\ محفظة خالية من المخاطر \end{matrix} \ start {align} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {X \ times (u - d)} \ & = \ text {عدد المشاركات المراد شراؤها لـ} \ & \ phantom {=} text {a محفظة خالية من المخاطر} \ \ end {محاذاة}$ s = X × (u − d) Pup −Pdown = عدد الأسهم التي يجب شراؤها مقابل محفظة خالية من المخاطر

ستكون القيمة المستقبلية للحافظة في نهاية السنوات "t" هي:

$\begin{matrix} في حالة Up Up & = س \times X \times ش - P_{فوق} \\ = \frac{P_{فوق} - P_{أسفل}}{ش - د} \times ش - P_{فوق} \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} text {في حالة تحريك لأعلى} & = s \ الأوقات X \ times u - P_ \ text {up} \ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {u - d} times u - P_ \ text {up} \ \ end {محاذاة}$ في حالة Up Up = s × X × u up Pup = u − dPup downPdown × u − Pup

$\begin{matrix} في حالة التحرك لأسفل & = س \times X \times د - P_{أسفل} \\ = \frac{P_{فوق} - P_{أسفل}}{ش - د} \times د - P_{أسفل} \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} text {في حالة تحريك لأسفل} & = s \ الأوقات X \ الأوقات d - P_ \ text {down} \ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {u - d} times d - P_ \ text {down} \ \ end {محاذاة}$ في حالة الحركة لأسفل = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

يمكن الحصول على القيمة الحالية من خلال خصمها بمعدل عائد خالٍ من المخاطر:

$\begin{matrix} PV = البريد (- ص تي) \times \\ أين: \\ PV = قيمة اليوم الحاضر \\ ص = معدل العائد \\ تي = الوقت ، بالسنوات \end{matrix} \ start {align} & \ text {PV} = e (-rt) times \ left \\ & \ textbf {where:} \ & \ text {PV} = \ text {قيمة اليوم الحالي} \ & r = \ text {Rate of return} \ & t = \ text {الوقت ، بالسنوات} \ \ end {محاذاة}$ PV = e (−rt) × حيث: PV = Valuer لليوم الحالي = معدل العائد = الوقت ، بالسنوات

يجب أن يتطابق هذا مع حافظة الأسهم "s" بسعر X ، وقيمة المكالمة القصيرة "c" (حاليًا (s * X - c) يجب أن تعادل هذا الحساب.) حل "c" يعطيها أخيرًا مثل:

ملاحظة: إذا كانت قيمة مكالمة المكالمة قصيرة ، فيجب أن تكون إضافة إلى الحافظة ، وليس عملية طرح.

$ج = \frac{البريد (- ص تي)}{ش - د} \times c = \ frac {e (-rt)} {u - d} times$ ج = ش دي (-rt) ×

هناك طريقة أخرى لكتابة المعادلة بإعادة ترتيبها:

أخذ "q" كـ:

$ف = \frac{البريد (- ص تي) - د}{ش - د} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ ف = ش دي (-rt) -d

ثم تصبح المعادلة:

$ج = البريد (- ص تي) \times (ف \times P_{فوق} + (1 - ف) \times P_{أسفل}) c = e (-rt) times (q \ times P_ \ text {up} + (1 - q) times P_ \ text {down})$ ج = ه (-rt) × (ف × الجرو + (1-ف) × Pdown)

إعادة ترتيب المعادلة من حيث "q" قدمت منظوراً جديداً.

يمكنك الآن تفسير "q" على أنه احتمال تحرك لأعلى من الأساس (حيث يرتبط "q" بـ P _up و "1-q" يرتبط بـ P _dn). بشكل عام ، تمثل المعادلة سعر خيار اليوم ، القيمة المخصومة لمكافأتها عند انتهاء الصلاحية.

هذا "س" مختلف

كيف يختلف هذا الاحتمال "q" عن احتمال التحرك لأعلى أو التحرك لأسفل للخط الأساسي؟

$\begin{matrix} VSP = ف \times X \times ش + (1 - ف) \times X \times د \\ أين: \\ VSP = قيمة سعر السهم في الوقت تي \end{matrix} \ start {align} & \ text {VSP} = q \ times X \ times u + (1 - q) times X \ times d \\ & \ textbf {where:} \ & \ text {VSP} = \ نص {قيمة سعر السهم في الوقت} t \\ \ end {محاذاة}$ VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dwhere: VSP = قيمة سعر السهم في الوقت t

استبدال قيمة "q" وإعادة ترتيب ، سعر السهم في الوقت "t" يأتي إلى:

$\begin{matrix} سعر السهم = البريد (ص تي) \times X \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & \ نص {سعر السهم} = e (rt) الأوقات X \\ \ end {محاذاة}$ سعر السهم = e (rt) × X

في هذا العالم المفترض المكون من دولتين ، يرتفع سعر السهم ببساطة عن طريق معدل العائد الخالي من المخاطر ، تمامًا مثل الأصل الخالي من المخاطر ، وبالتالي يبقى مستقلًا عن أي خطر. لا يبالي المستثمرون بالمخاطرة في ظل هذا النموذج ، وبالتالي فإن هذا يشكل نموذجًا محايدًا للمخاطر.

تُعرف الاحتمالية "q" و "(1-q)" بالاحتمالات المحايدة للمخاطر وتعرف طريقة التقييم باسم نموذج التقييم المحايد للمخاطر.

يحتوي سيناريو المثال على أحد المتطلبات المهمة - هيكل العائد المستقبلي مطلوب بدقة (المستوى 110 دولار و 90 دولارًا). في الحياة الواقعية ، هذا الوضوح حول مستويات الأسعار المستندة إلى الخطوة غير ممكن ؛ بدلاً من ذلك ، يتحرك السعر بشكل عشوائي وقد يستقر عند مستويات متعددة.

لتوسيع المثال أكثر ، افترض أن مستويات السعر من خطوتين ممكنة. نحن نعرف الخطوة الثانية ، ونحتاج إلى تقييم الخيار اليوم (في الخطوة الأولى):

إذا نظرنا إلى الوراء ، يمكن إجراء تقييم الخطوة الأولى الوسيطة (في t = 1) باستخدام العوائد النهائية في الخطوة الثانية (t = 2) ، ثم باستخدام تقييم الخطوة الأولى المحسوب (t = 1) ، وتقييم اليوم الحالي (t = 0) يمكن الوصول إليها مع هذه الحسابات.

للحصول على خيار التسعير بالرقم الثاني ، يتم استخدام الأرباح في أربعة وخمسة. للحصول على السعر للرقم الثالث ، يتم استخدام المردودات من 5 إلى 6. وأخيرًا ، يتم استخدام الأرباح المحسوبة عند اثنين وثلاثة للحصول على التسعير بالرقم الأول.

يرجى ملاحظة أن هذا المثال يفترض وجود نفس عامل التحركات لأعلى (لأسفل) في كلا الخطوتين - يتم تطبيق u و d بطريقة مركبة.

مثال عملي

افترض أن خيار البيع بسعر 110 دولارات يتم تداوله حاليًا عند 100 دولار وينتهي في عام واحد. المعدل السنوي الخالي من المخاطر هو 5٪. من المتوقع أن يرتفع السعر بنسبة 20 ٪ وينخفض بنسبة 15 ٪ كل ستة أشهر.

هنا ، u = 1.2 و d = 0.85 ، x = 100 ، t = 0.5

باستخدام الصيغة المشتقة أعلاه من

$ف = \frac{البريد (- ص تي) - د}{ش - د} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ ف = ش دي (-rt) -d

نحصل على q = 0.35802832

قيمة خيار البيع عند النقطة 2 ،

$\begin{matrix} ص_{2} = البريد (- ص تي) \times (ص \times P_{فوق فوق} + (1 - ف) P_{updn}) \\ أين: \\ ص = سعر خيار البيع \end{matrix} \ start {align} & p_2 = e (-rt) times (p \ times P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \ & \ textbf {where:} \ & p = \ النص {سعر خيار البيع} \ \ النهاية {محاذاة}$ p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) حيث: p = سعر خيار البيع

عند الشرط P _upup ، ستكون القيمة الأساسية = 100 * 1.2 * 1.2 = 144 دولار تؤدي إلى P _upup = صفر

في حالة P _updn ، سيكون الأساس هو 100 * 1.2 * 0.85 = 102 دولار مما يؤدي إلى P _updn = $ 8

في حالة P _dndn ، ستكون القيمة الأساسية = 100 * 0.85 * 0.85 = 72.25 دولار تؤدي إلى P _dndn = 37.75 دولار

ع ₂ = 0.975309912 * (0.35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741

وبالمثل ، ص ₃ = 0.975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37.75) = 26.42958924

$ص_{1} = البريد (- ص تي) \times (ف \times ص_{2} + (1 - ف) ص_{3}) p_1 = e (-rt) times (q \ times p_2 + (1 - q) p_3)$ P1 = ه (-rt) × (ف × P2 + (1-ف) P3)

وبالتالي قيمة خيار البيع ، p ₁ = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = 18.29 دولار.

وبالمثل ، تتيح لك النماذج ذات الحدين كسر مدة الخيار بأكملها لمزيد من الخطوات والمستويات المتعددة. باستخدام برامج الكمبيوتر أو جداول البيانات ، يمكنك العمل للخلف خطوة واحدة في كل مرة للحصول على القيمة الحالية للخيار المطلوب.

مثال آخر

افترض أن خيار الطرح من النمط الأوروبي مع انتهاء فترة التسعة أشهر ، وسعر التنفيذ بقيمة 12 دولارًا والسعر الأساسي الحالي عند 10 دولارات. تفترض معدل خالٍ من المخاطر بنسبة 5٪ لجميع الفترات. لنفترض كل ثلاثة أشهر ، أن السعر الأساسي يمكن أن يتحرك بنسبة 20٪ لأعلى أو لأسفل ، مما يعطينا u = 1.2 ، d = 0.8 ، t = 0.25 وشجرة ذات الحدين من ثلاث خطوات.

يشير اللون الأحمر إلى الأسعار الأساسية ، بينما يشير اللون الأزرق إلى خيارات خيارات البيع.

الاحتمال المحايد للمخاطر "q" يحسب إلى 0.531446.

باستخدام القيمة أعلاه "q" وقيم المردود في t = تسعة أشهر ، يتم حساب القيم المقابلة في t = ستة أشهر على النحو التالي:

علاوة على ذلك ، باستخدام هذه القيم المحسوبة في t = 6 ، القيم في t = 3 ثم في t = 0 هي:

يمنح هذا القيمة الحالية لخيار البيع بسعر 2.18 دولار ، وهو قريب جدًا مما تجده يقوم بإجراء الحسابات باستخدام نموذج Black-Scholes (2.30 دولار).

الخط السفلي

على الرغم من أن استخدام برامج الكمبيوتر يمكن أن يجعل هذه العمليات الحسابية المكثفة أمرًا سهلاً ، إلا أن التنبؤ بالأسعار المستقبلية يظل قيدًا كبيرًا على نماذج ذات الحدين لتسعير الخيارات. كلما كانت الفواصل الزمنية أدق ، كلما زاد صعوبة التنبؤ بالمكافآت في نهاية كل فترة بدقة عالية المستوى.

ومع ذلك ، فإن المرونة لدمج التغييرات المتوقعة في فترات مختلفة هي ميزة إضافية ، مما يجعلها مناسبة لتسعير الخيارات الأمريكية ، بما في ذلك تقييمات التدريب المبكر.

تتطابق القيم المحسوبة باستخدام نموذج ذو الحدين عن كثب مع تلك المحسوبة من النماذج الأخرى الشائعة الاستخدام مثل Black-Scholes ، والتي تشير إلى فائدة ودقة نماذج ذات الحدين في تسعير الخيار. يمكن تطوير نماذج التسعير ذات الحدين وفقًا لتفضيلات المتداول ويمكن أن تعمل كبديل عن Black-Scholes.

جدول المحتويات: