كيفية استخدام مونت كارلو المحاكاة مع gbm

أحد أكثر الطرق شيوعًا لتقدير المخاطر هو استخدام محاكاة مونت كارلو (MCS). على سبيل المثال ، لحساب القيمة المعرضة للمخاطر (VaR) الخاصة بالمحفظة ، يمكننا تشغيل محاكاة مونت كارلو التي تحاول التنبؤ بأسوأ خسارة محتملة للمحفظة بالنظر إلى فاصل الثقة عبر أفق زمني محدد (نحتاج دائمًا إلى تحديد اثنين شروط VaR: الثقة والأفق).

، سنراجع MCS الأساسي المطبق على سعر السهم باستخدام أحد أكثر النماذج شيوعًا في التمويل: الحركة البراونية الهندسية (GBM). لذلك ، على الرغم من أن محاكاة مونت كارلو يمكن أن تشير إلى عالم من الأساليب المختلفة للمحاكاة ، سنبدأ هنا بأكثر الطرق الأساسية.

من أين أبدا

محاكاة مونت كارلو هي محاولة للتنبؤ بالمستقبل عدة مرات. في نهاية المحاكاة ، تنتج الآلاف أو الملايين من "التجارب العشوائية" توزيعًا للنتائج التي يمكن تحليلها. الخطوات الأساسية هي كما يلي:

1. حدد نموذجًا (مثل GBM)

بالنسبة لهذه المقالة ، سوف نستخدم الحركة الهندسية البراونية (GBM) ، والتي هي من الناحية الفنية عملية ماركوف. هذا يعني أن سعر السهم يتبع مسارًا عشوائيًا ومتسقًا مع (على الأقل) الشكل الضعيف لفرضية السوق الفعالة (EMH) - تم تضمين معلومات سعر الماضي بالفعل ، وحركة السعر التالية "مستقلة بشكلٍ مشروط" عن الماضي تحركات الأسعار.

تم العثور على صيغة GBM أدناه:

$\begin{matrix} \frac{Δ س}{س} = μ Δ تي + σ ε \sqrt{Δ تي} \\ أين: \\ س = سعر السهم \\ Δ س = التغير في سعر السهم \\ μ = العائد المتوقع \\ σ = الانحراف المعياري للعائدات \\ ε = المتغير العشوائي \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & \ frac { Delta S} {S} = \ \ mu \ Delta t \ + \ \ sigma \ epsilon \ sqrt { Delta t} \ & \ textbf {where:} \ & S = \ text {سعر السهم} \ & \ Delta S = \ text {التغيير في سعر السهم} \ & \ mu = \ text {العائد المتوقع} \ & \ sigma = \ text {الانحراف المعياري لـ إرجاع} \ & \ epsilon = \ text {المتغير العشوائي} \ & \ Delta t = \ text {الفترة الزمنية المنقضية} end {محاذاة}$ SΔS = μΔt + wheret حيث: S = سعر السهم Δ = التغيير في سعر السهم μ = العائد المتوقع = الانحراف المعياري للعائدات = المتغير العشوائي

إذا قمنا بإعادة ترتيب المعادلة لحلها فقط من أجل التغيير في سعر السهم ، فإننا نرى أن GBM تقول إن التغير في سعر السهم هو سعر السهم "S" مضروب في المصطلحين الموجودين داخل قوسين أدناه:

$Δ س = س \times (μ Δ تي + σ ε \sqrt{Δ تي}) \ Delta S \ = \ S \ \ times ( mu \ Delta t \ + \ \ sigma \ epsilon \ sqrt { Delta t})$ =S = S × (+t + σϵΔt)

المصطلح الأول هو "الانجراف" والمصطلح الثاني هو "صدمة". في كل فترة زمنية ، يفترض نموذجنا أن السعر سوف "ينحسر" مع العائد المتوقع. ولكن سيتم صدمة الانجراف (إضافتها أو طرحها) بصدمة عشوائية. ستكون الصدمة العشوائية الانحراف المعياري "s" مضروبًا برقم عشوائي "e". هذا هو ببساطة وسيلة لتوسيع نطاق الانحراف المعياري.

هذا هو جوهر GBM ، كما هو موضح في الشكل 1. يتبع سعر السهم سلسلة من الخطوات ، حيث تكون كل خطوة عبارة عن انجراف زائد أو ناقص صدمة عشوائية (بحد ذاتها دالة على الانحراف المعياري للسهم):

2. توليد تجارب عشوائية

مسلحين بمواصفات النموذج ، ننتقل بعد ذلك إلى إجراء تجارب عشوائية. للتوضيح ، استخدمنا Microsoft Excel لتشغيل 40 تجربة. ضع في اعتبارك أن هذه عينة صغيرة بشكل غير واقعي ؛ تعمل معظم المحاكاة أو "سيمز" على الأقل عدة آلاف من التجارب.

في هذه الحالة ، لنفترض أن السهم يبدأ في اليوم صفر بسعر 10 دولارات. فيما يلي مخطط للنتائج حيث تكون كل خطوة زمنية (أو فاصل زمني) يومًا واحدًا ، وتستمر السلسلة لمدة عشرة أيام (باختصار: أربعون تجربة مع خطوات يومية على مدى عشرة أيام):

والنتيجة أربعون أسعار محاكاة للسهم في نهاية 10 أيام. لم يحدث أي شيء أن ينخفض إلى أقل من 9 دولارات ، وواحد أعلى من 11 دولارًا.

3. معالجة الإخراج

أنتجت المحاكاة توزيعًا للنتائج المستقبلية الافتراضية. يمكننا أن نفعل عدة أشياء مع الإخراج.

على سبيل المثال ، إذا كنا نرغب في تقدير VaR بثقة 95 ٪ ، فعندئذٍ نحتاج فقط إلى تحديد نتيجة المرتبة الثامنة والثلاثين (النتيجة الثالثة الأسوأ). ذلك لأن 2/40 يساوي 5 ٪ ، وبالتالي فإن أسوأ النتائج هما في أدنى 5 ٪.

إذا كدنا النتائج الموضحة في صناديق (كل صندوق يمثل ثلث دولار واحد ، وبالتالي تغطي ثلاثة صناديق الفاصل من 9 دولارات إلى 10 دولارات) ، فسنحصل على الرسم البياني التالي:

تذكر أن نموذج GBM لدينا يفترض وجود الحالة الطبيعية ؛ يتم توزيع عوائد الأسعار عادةً مع العائد المتوقع (المتوسط) "m" والانحراف المعياري "." ومن المثير للاهتمام ، الرسم البياني لدينا لا تبدو طبيعية. في الواقع ، مع مزيد من التجارب ، لن تميل نحو الحياة الطبيعية. بدلاً من ذلك ، سوف تميل إلى توزيع غير طبيعي: هبوط حاد على يسار الوسط و "ذيل طويل" منحرف للغاية على يمين الوسط.

يؤدي هذا غالبًا إلى ديناميكية محيرة محتملة لطلاب المرة الأولى:

عادة ما يتم توزيع عوائد الأسعار. يتم توزيع مستويات الأسعار بشكل طبيعي.

فكر في الأمر بهذه الطريقة: يمكن للسهم أن يرتفع أو ينخفض بنسبة 5٪ أو 10٪ ، لكن بعد فترة زمنية معينة ، لا يمكن أن يكون سعر السهم سالبًا. علاوة على ذلك ، فإن زيادة الأسعار على الجانب العلوي لها تأثير مضاعف ، في حين أن انخفاض الأسعار على الجانب السلبي يقلل القاعدة: تخسر 10 ٪ ويترك لك الكثير لتخسره في المرة القادمة.

فيما يلي مخطط للتوزيع اللوغاريتمي المفروض على افتراضاتنا الموضحة (على سبيل المثال سعر البدء البالغ 10 دولارات):

الخط السفلي

تطبق محاكاة مونت كارلو نموذجًا محددًا (يحدد سلوك الأداة) على مجموعة كبيرة من التجارب العشوائية في محاولة لإنتاج مجموعة معقولة من النتائج المستقبلية المحتملة. فيما يتعلق بمحاكاة أسعار الأسهم ، فإن النموذج الأكثر شيوعًا هو الحركة البراونية الهندسية (GBM). تفترض GBM أن الانجراف المستمر يصاحبه صدمات عشوائية. بينما يتم توزيع عوائد الفترة تحت GBM عادة ، يتم توزيع مستويات الأسعار متعددة الفترات (على سبيل المثال ، عشرة أيام) بشكل غير طبيعي.

جدول المحتويات: