تعريف الفائدة المركبة

جدول المحتويات

• ما هي الفائدة المركبة؟
• حساب الفائدة المركبة
• نمو الفائدة المركبة
• مضاعفة الفترات
• التفوق حساب مضاعفة
• باستخدام حاسبات أخرى
• تردد التركيب
• القيمة الزمنية للنظر في الأموال
• "حكم 72" النظر
• معدل النمو السنوى الاجمالى
• إيجابيات وسلبيات يضاعف
• الفائدة المركبة للاستثمارات
• معرفة ما إذا كانت الفائدة مركبة

ما هي الفائدة المركبة؟

الفائدة المركبة (أو الفائدة المركبة) هي الفائدة التي يتم احتسابها على رأس المال المبدئي ، والتي تشمل أيضًا كل الفوائد المتراكمة للفترات السابقة للإيداع أو القرض. يُعتقد أن الفائدة المركبة نشأت في إيطاليا في القرن السابع عشر ، ويمكن اعتبار الفائدة المركبة "فائدة على الفائدة" ، وستجعل المبلغ ينمو بمعدل أسرع من الفائدة البسيطة ، والتي يتم حسابها فقط على المبلغ الأصلي.

الماخذ الرئيسية

• الفائدة المركبة (أو الفائدة المركبة) هي الفائدة التي يتم احتسابها على رأس المال الأولي ، والتي تشمل أيضًا جميع الفوائد المتراكمة للفترات السابقة من الودائع أو القروض. وتحسب الفائدة المركبة بضرب المبلغ الأساسي الأولي بواحد زائد سعر الفائدة السنوي المرتفع إلى عدد الفترات المركبة ناقص واحد. يمكن مضاعفة الاهتمام على أي جدول زمني للتردد ، من مستمر إلى يومي إلى سنوي. عند حساب الفائدة المركبة ، فإن عدد فترات التركيب يحدث فرقًا كبيرًا.

يعتمد معدل تراكم الفائدة المركبة على وتيرة التركيب ، بحيث أنه كلما ارتفع عدد فترات التركيب ، زاد الاهتمام المركب. وبالتالي ، فإن مبلغ الفائدة المركبة المستحقة على 100 دولار المركب بنسبة 10 ٪ سنويا سيكون أقل من ذلك على 100 دولار المركب بنسبة 5 ٪ نصف سنوي خلال نفس الفترة الزمنية. نظرًا لأن تأثير الفائدة على الفائدة يمكن أن يولد عائدات إيجابية بشكل متزايد استنادًا إلى المبلغ الرئيسي الأولي ، يشار إليه أحيانًا باسم "معجزة الفائدة المركبة".

فهم الفائدة المركبة

حساب الفائدة المركبة

يتم احتساب الفائدة المركبة عن طريق ضرب المبلغ الرئيسي الأولي بواحد بالإضافة إلى سعر الفائدة السنوي المرتفع إلى عدد الفترات المركبة ناقص واحد. ثم يتم طرح المبلغ الإجمالي الأولي للقرض من القيمة الناتجة.

Katie Kerpel {Copyright} Investopedia ، 2019.

الصيغة لحساب الفائدة المركبة هي:

الفائدة المركبة = إجمالي المبلغ الأساسي والفائدة في المستقبل (أو القيمة المستقبلية) مطروحًا منها المبلغ الرئيسي في الوقت الحالي (أو القيمة الحالية)

= - ف

= ف

(حيث P = الرئيسي ، i = معدل الفائدة السنوي الاسمي من حيث النسبة المئوية ، و n = عدد فترات التركيب.)

خذ قرضًا مدته ثلاث سنوات بقيمة 10000 دولار بمعدل فائدة 5٪ يتراكم سنويًا. ماذا سيكون مقدار الفائدة؟ في هذه الحالة ، سيكون: 10،000 دولار = 10،000 دولار = 1،576.25 دولار.

نمو الفائدة المركبة

باستخدام المثال أعلاه ، نظرًا لأن الفائدة المركبة تأخذ في الاعتبار أيضًا الفائدة المتراكمة في الفترات السابقة ، فإن مبلغ الفائدة ليس هو نفسه طوال السنوات الثلاث ، حيث سيكون مع الفائدة البسيطة. في حين أن إجمالي الفوائد المستحقة على فترة ثلاث سنوات من هذا القرض هو 1،576.25 دولار ، يتم عرض الفائدة المستحقة في نهاية كل عام في الجدول أدناه.

مضاعفة الفترات

عند حساب الفائدة المركبة ، فإن عدد فترات التركيب يحدث فرقًا كبيرًا. القاعدة الأساسية هي أنه كلما زاد عدد الفترات المركبة ، زاد مقدار الفائدة المركبة.

يوضح الجدول التالي الفرق الذي يمكن أن يحدثه عدد الفترات المركبة للحصول على قرض بقيمة 10000 دولار بمعدل فائدة سنوي 10٪ خلال فترة 10 سنوات.

الفائدة المركبة يمكن أن تعزز بشكل كبير عوائد الاستثمار على المدى الطويل. في حين أن الوديعة البالغة 100،000 دولار التي تتلقى فائدة بسيطة بنسبة 5٪ ستربح 50،000 دولار كمصلحة على مدى 10 سنوات ، فإن الفائدة المركبة البالغة 5٪ على 10،000 دولار ستصل إلى 62،889.46 دولار خلال نفس الفترة.

التفوق حساب مضاعفة

إذا مر وقت منذ أيام دراستك للرياضيات ، فلا تخف من ذلك: هناك أدوات مفيدة للمساعدة في زيادة عدد الطلاب. تحتوي العديد من الآلات الحاسبة (سواء المحمولة أو المستندة إلى الكمبيوتر) على وظائف الأس التي يمكن استخدامها لهذه الأغراض. في حالة ظهور مهام تعقيد أكثر تعقيدًا ، يمكن القيام بذلك باستخدام Microsoft Excel - بثلاث طرق مختلفة.

1. تتمثل الطريقة الأولى لحساب الفائدة المركبة في مضاعفة الرصيد الجديد كل عام بمعدل الفائدة. لنفترض أنك قمت بإيداع 1000 دولار في حساب ادخار بمعدل فائدة 5٪ يتراكم سنويًا ، وتريد حساب الرصيد في غضون خمس سنوات. في Microsoft Excel ، أدخل "السنة" في الخلية A1 و "الرصيد" في الخلية B1. أدخل السنوات من 0 إلى 5 في الخلايا من A2 إلى A7. الرصيد للعام 0 هو 1000 دولار ، لذلك ستدخل "1000" في الخلية B2. بعد ذلك ، أدخل "= B2 * 1.05" في الخلية B3. ثم أدخل "= B3 * 1.05" في الخلية B4 وتابع القيام بذلك حتى تصل إلى الخلية B7. في الخلية B7 ، الحساب هو "= B6 * 1.05". أخيرًا ، القيمة المحسوبة في الخلية B7 - $ 276.28 - هي الرصيد في حساب التوفير الخاص بك بعد خمس سنوات. للعثور على قيمة الفائدة المركبة ، قم بطرح 1،000 دولار من 1،276.28 $ ؛ يمنحك هذا قيمة 276.28 دولار. الطريقة الثانية لحساب الفائدة المركبة هي استخدام صيغة ثابتة. صيغة الفائدة المركبة هي ((P * (1 + i) ^ n) - P) ، حيث P هي الرئيسية ، i هي معدل الفائدة السنوي ، و n هو عدد الفترات. باستخدام نفس المعلومات أعلاه ، أدخل "القيمة الرئيسية" في الخلية A1 و 1000 في الخلية B1. بعد ذلك ، أدخل "سعر الفائدة" في الخلية A2 و ".05" في الخلية B2. أدخل "الفترات المركبة" في الخلية A3 و "5" في الخلية B3. الآن يمكنك حساب الفائدة المركبة في الخلية B4 عن طريق إدخال "= (B1 * (1 + B2) ^ B3) -B1" ، والذي يمنحك 276.28 دولار. الطريقة الثالثة لحساب الفائدة المركبة هي إنشاء دالة ماكرو. قم أولاً بتشغيل محرر Visual Basic ، الموجود في علامة تبويب المطور. انقر فوق قائمة "إدراج" ، وانقر فوق "الوحدة النمطية". ثم اكتب "Function Compound_Interest (P As Double ، i As Double ، n As Double) As Double" في السطر الأول. في السطر الثاني ، اضغط على مفتاح الجدولة واكتب "Compound_Interest = (P * (1 + i) ^ n) - P". في السطر الثالث من الوحدة النمطية ، أدخل "إنهاء الوظيفة". لقد قمت بإنشاء ماكرو دالة لحساب سعر الفائدة المركب. متابعة من ورقة عمل Excel نفسها أعلاه ، أدخل "الفائدة المركبة" في الخلية A6 وأدخل "= Compound_Interest (B1 ، B2 ، B3)". يمنحك هذا قيمة 276.28 دولار ، وهو ما يتفق مع القيمتين الأوليين.

باستخدام حاسبات أخرى

كما ذكر أعلاه ، يتم تقديم عدد من الآلات الحاسبة المجانية ذات الفائدة المركبة على الإنترنت ، ويمكن للعديد من الآلات الحاسبة المحمولة القيام بهذه المهام أيضًا.

• آلة حاسبة الفائدة المركبة المجانية المقدمة من خلال Financial-Calculators.com سهلة التشغيل وتقدم خيارات التردد المركب يوميًا إلى سنويًا. يتضمن خيارًا لتحديد التركيب المستمر ويسمح أيضًا بإدخال تواريخ البدء والانتهاء الفعلية للتقويم. بعد إدخال بيانات الحساب اللازمة ، تُظهر النتائج الفوائد المكتسبة والقيمة المستقبلية ونسبة العائد السنوية (APY) ، وهو مقياس يتضمن التعقيد والفائدة اليومية.Investor.gov ، موقع إلكتروني تديره لجنة الأوراق المالية والبورصات الأمريكية (SEC) ، يقدم آلة حاسبة الفائدة المركبة على الانترنت مجانا. تعتبر الآلة الحاسبة بسيطة إلى حد ما ، ولكنها تتيح مدخلات من الودائع الإضافية الشهرية للمدير ، وهو أمر مفيد لحساب الأرباح حيث يتم إيداع مدخرات شهرية إضافية. تتوفر حاسبة مجانية على الإنترنت مع بعض الميزات الإضافية في TheCalculatorSite.com. تسمح هذه الآلة الحاسبة بإجراء عمليات حسابية بعملات مختلفة ، والقدرة على التعامل مع الودائع الشهرية أو السحوبات ، وخيار الحصول على زيادات معدلة حسب التضخم على الودائع الشهرية أو السحوبات التي يتم حسابها تلقائيًا أيضًا.

تردد التركيب

يمكن مضاعفة الاهتمام على أي جدول زمني للترددات ، من يومي إلى سنوي. هناك جداول تردد مضاعفة قياسية يتم تطبيقها عادة على الأدوات المالية.

جدول التعقيد شائع الاستخدام لحساب التوفير في أحد البنوك يوميًا. بالنسبة للقرص المضغوط ، تكون جداول تردد التركيب النموذجية يومية أو شهرية أو نصف سنوية ؛ لحسابات سوق المال ، غالبًا ما يكون يوميًا. بالنسبة لقروض الرهن العقاري المنزلية أو قروض الأسهم المنزلية أو قروض الأعمال الشخصية أو حسابات بطاقات الائتمان ، فإن جدول التعقيد الأكثر شيوعًا هو الشهرية. يمكن أن يكون هناك أيضًا اختلافات في الإطار الزمني الذي يتم فيه قيد الفائدة المستحقة فعليًا في الرصيد الحالي. قد تتضاعف الفائدة على الحساب يوميًا ولكن يتم إضافتها شهريًا فقط. فقط عندما يتم إضافة الفائدة بالفعل أو إضافتها إلى الرصيد الحالي ، يبدأ في كسب فائدة إضافية في الحساب.

تقدم بعض البنوك أيضًا شيئًا يُطلق عليه الفائدة المتزايدة باستمرار ، مما يضيف فائدة إلى رأس المال في كل لحظة ممكنة. لأغراض عملية ، لا يتراكم هذا أكثر من الفائدة المركبة اليومية إلا إذا كنت ترغب في وضع أموال وإخراجها في نفس اليوم.

تعميق الفائدة المتكرر مفيد للمستثمر أو الدائن. بالنسبة للمقترض ، فإن العكس هو الصحيح.

القيمة الزمنية للنظر في الأموال

إن فهم القيمة الزمنية للنقود والنمو الهائل الناتج عن التعقيد أمر ضروري للمستثمرين الذين يتطلعون إلى تحسين دخلهم وتخصيص ثرواتهم.

معادلة الحصول على القيمة المستقبلية (FV) والقيمة الحالية (PV) هي كما يلي:

FV = PV (1 + i) ⁿ و PV = FV / (1 + i) ⁿ

على سبيل المثال ، تتضاعف القيمة المستقبلية البالغة 10،000 دولار بمعدل 5٪ سنويًا لمدة ثلاث سنوات:

= 10000 دولار (1 + 0.05) ³

= 10،000 دولار (1.157625)

= 11576.25 دولار

القيمة الحالية البالغة 11،576.25 دولار مخفضة بنسبة 5٪ لمدة ثلاث سنوات:

= 11576.25 دولار (1 + 0.05) ³

= 11576.25 دولار / 1.157625

= 10000 دولار

المعاملة بالمثل لـ 1.157625 ، والتي تساوي 0.8638376 ، هي عامل الخصم في هذه الحالة.

"حكم 72" النظر

تحسب القاعدة 72 المعروفة باسم الوقت التقريبي الذي سيتضاعف فيه الاستثمار بمعدل عائد معين أو فائدة "i" ويتم تقديمه بواسطة (72 / i). يمكن استخدامه فقط للتركيب السنوي.

على سبيل المثال ، الاستثمار الذي يبلغ معدل العائد السنوي 6٪ سيتضاعف خلال 12 عامًا.

الاستثمار بمعدل عائد سنوي 8٪ سيتضاعف في تسع سنوات.

معدل النمو السنوي المركب (CAGR)

يستخدم معدل النمو السنوي المركب (CAGR) لمعظم التطبيقات المالية التي تتطلب حساب معدل نمو واحد على مدى فترة من الزمن.

دعنا نقول أن محفظة استثماراتك زادت من 10،000 دولار إلى 16،000 دولار على مدار خمس سنوات ؛ ما هو CAGR؟ يعني هذا بشكل أساسي أن PV = - 10،000 دولار ، FV = 16،000 دولار ، nt = 5 ، لذلك يجب حساب المتغير "i". باستخدام الآلة الحاسبة المالية أو Excel ، يمكن إثبات أن i = 9.86٪.

(لاحظ أنه وفقًا لاتفاقية التدفق النقدي ، يتم عرض استثمارك الأولي (PV) بقيمة 10،000 دولار بعلامة سلبية نظرًا لأنه يمثل تدفقًا للأموال. يجب أن تحتوي PV و FV بالضرورة على علامات معاكسة لحل "i" في ما ورد أعلاه معادلة).

تطبيقات CAGR الواقعية

يستخدم معدل النمو السنوي المركب على نطاق واسع لحساب العائدات على مدى فترات زمنية للأسهم ، وصناديق الاستثمار ، ومحافظ الاستثمار. يستخدم معدل النمو السنوي المركب أيضًا للتأكد مما إذا كان مدير الصندوق المشترك أو مدير المحفظة قد تجاوز معدل عائد السوق خلال فترة من الزمن. على سبيل المثال ، إذا كان مؤشر السوق قد حقق عائدات إجمالية قدرها 10 ٪ خلال فترة خمس سنوات ، ولكن لم يولد مدير الصندوق سوى عوائد سنوية قدرها 9 ٪ خلال نفس الفترة ، فقد أدي المدير إلى أداء السوق.

يمكن أيضًا استخدام معدل النمو السنوي المركب لحساب معدل النمو المتوقع لمحافظ الاستثمار على مدار فترات زمنية طويلة ، وهو أمر مفيد لأغراض مثل الادخار للتقاعد. النظر في الأمثلة التالية:

مثال 1: المستثمر الذي يكره المخاطرة يسعده معدل عائد سنوي متواضع قدره 3٪ على محفظتها. وبالتالي ، فإن محفظتها الحالية البالغة 100،000 دولار ستنمو إلى 180،611 دولار بعد 20 عامًا. في المقابل ، فإن المستثمر الذي يتحمل المخاطر والذي يتوقع عائدًا سنويًا بنسبة 6٪ على محفظتها سيشهد ارتفاعًا قدره 100000 دولار إلى 320714 دولارًا بعد 20 عامًا.

مثال 2: يمكن استخدام CAGR لتقدير مقدار الاحتياجات التي يجب تخزينها للحفظ من أجل هدف محدد. سيحتاج الزوجان اللذان يرغبان في توفير 50.000 دولار على مدى 10 سنوات كدفعة مقدمة على الشقة إلى توفير 4،165 دولارًا سنويًا إذا افترضوا عائدًا سنويًا (CAGR) قدره 4٪ على مدخراتهم. إذا كانوا على استعداد لتحمل القليل من المخاطرة وتوقع معدل نمو سنوي مركب قدره 5 ٪ ، فسوف يحتاجون إلى توفير 3975 دولار سنويًا.

مثال 3: يمكن أيضًا استخدام CAGR لإظهار فضائل الاستثمار في وقت مبكر وليس متأخراً في الحياة. إذا كان الهدف هو توفير 1 مليون دولار عن طريق التقاعد في سن 65 عامًا ، استنادًا إلى معدل نمو سنوي مركب قدره 6٪ ، فإن الطفل البالغ من العمر 25 عامًا سيحتاج إلى توفير 6،462 دولارًا سنويًا لتحقيق هذا الهدف. من ناحية أخرى ، يحتاج اللاعب البالغ من العمر 40 عامًا إلى توفير 18،227 دولارًا ، أو ما يقرب من ثلاثة أضعاف هذا المبلغ ، لتحقيق نفس الهدف.

• CAGRs أيضا المحاصيل في كثير من الأحيان في البيانات الاقتصادية. فيما يلي مثال: ارتفع نصيب الفرد من الناتج المحلي الإجمالي في الصين من 193 دولارًا في عام 1980 إلى 6،091 دولارًا في عام 2012. ما هو النمو السنوي في نصيب الفرد من إجمالي الناتج المحلي خلال فترة الـ 32 عامًا هذه؟ معدل النمو "i" في هذه الحالة يكون رائعًا بنسبة 11.4٪.

إيجابيات وسلبيات يضاعف

في حين أن سحر المركبة أدى إلى قصة ألبرت أينشتاين المفزعة التي وصفتها بأنها المعجزة الثامنة للعالم أو اختراع الرجل الأكبر ، فإن المضاعفة يمكن أن تعمل أيضًا ضد المستهلكين الذين لديهم قروض تحمل أسعار فائدة مرتفعة للغاية ، مثل ديون بطاقات الائتمان. سيؤدي رصيد بطاقة الائتمان البالغ 20.000 دولار والمدفوع بمعدل فائدة 20٪ مركب شهريًا إلى إجمالي فائدة مركبة تبلغ 3888 دولارًا على مدار عام أو حوالي 365 دولارًا في الشهر.

على الجانب الإيجابي ، يمكن أن يعمل سحر المضاعفات لصالحك عندما يتعلق الأمر باستثماراتك ويمكن أن يكون عاملاً فعالاً في تكوين الثروات. يعتبر النمو الهائل الناتج عن زيادة الفائدة أمرًا مهمًا أيضًا في تخفيف عوامل تآكل الثروة ، مثل الزيادة في تكلفة المعيشة والتضخم وتقليل القوة الشرائية.

تقدم صناديق الاستثمار المشتركة واحدة من أسهل الطرق للمستثمرين لجني فوائد الفائدة المركبة. يؤدي اختيار إعادة استثمار الأرباح المستمدة من الصندوق المشترك إلى شراء المزيد من أسهم الصندوق. يتراكم المزيد من الفوائد المركبة بمرور الوقت ، وستستمر دورة شراء المزيد من الأسهم في مساعدة الاستثمار في الصندوق على النمو في القيمة.

النظر في الاستثمار في صناديق الاستثمار المشترك فتح مع 5000 دولار الأولي وإضافة سنوية قدرها 2400 دولار. مع متوسط ​​عائد سنوي قدره 12 ٪ من 30 سنة ، فإن القيمة المستقبلية للصندوق هي 798500 دولار. الفائدة المركبة هي الفرق بين النقد الذي ساهم في الاستثمار والقيمة المستقبلية الفعلية للاستثمار. في هذه الحالة ، من خلال المساهمة بمبلغ 77000 دولار ، أو مساهمة تراكمية تبلغ 200 دولار فقط في الشهر ، على مدى 30 عامًا ، تبلغ الفائدة المركبة 721.500 دولار من الرصيد المستقبلي. بطبيعة الحال ، فإن الأرباح من الفائدة المركبة تخضع للضريبة ، ما لم يكن المال في حساب محمي من الضرائب ؛ يتم فرض الضريبة عليه عادةً وفقًا للمعدل القياسي المرتبط بالقسم الضريبي لدافعي الضرائب.

الفائدة المركبة للاستثمارات

المستثمر الذي يختار خطة إعادة الاستثمار ضمن حساب الوساطة يستخدم أساسًا قوة المضاعفة في أي شيء يستثمره. يمكن للمستثمرين أيضًا تجربة الفائدة المتزايدة عند شراء سندات ذات قسيمة صفرية. توفر إصدارات السندات التقليدية للمستثمرين مدفوعات فوائد دورية بناءً على الشروط الأصلية لإصدار السندات ، ولأن هذه المدفوعات تُدفع للمستثمر في شكل شيك ، فإن الفائدة لا تتراكم. لا ترسل سندات القسيمة الصفرية شيكات الفائدة للمستثمرين ؛ بدلاً من ذلك ، يتم شراء هذا النوع من السندات بسعر مخفض إلى قيمتها الأصلية وينمو بمرور الوقت. يستخدم مصدّرو السندات الصفرية قوة المضاعفة لزيادة قيمة السند حتى يصل سعره الكامل عند الاستحقاق.

يمكن أن يضاعف من تعقيد لك أيضا عند إجراء سداد القرض. إن القيام بنصف دفع رهنك العقاري مرتين في الشهر ، على سبيل المثال ، بدلاً من سداد الدفعة الكاملة مرة واحدة في الشهر ، سينتهي به الأمر إلى خفض فترة الإهلاك وتوفير قدر كبير من الفائدة. الحديث عن القروض…

معرفة ما إذا كانت الفائدة مركبة

يشترط قانون الحقيقة في الإقراض (TILA) أن يقوم المقرضون بالإفصاح عن شروط القرض للمقترضين المحتملين ، بما في ذلك إجمالي قيمة الفائدة بالدولار الواجب سدادها على مدى عمر القرض وما إذا كانت الفائدة مستحقة ببساطة أو تتفاقم.

هناك طريقة أخرى تتمثل في مقارنة سعر الفائدة للقرض مع معدل النسبة السنوية (APR) ، والذي يتطلب TILA أيضًا من المقرضين الإفصاح عنه. يقوم APR بتحويل الرسوم المالية لقرضك ، والتي تشمل جميع الفوائد والرسوم ، إلى معدل فائدة بسيط. هناك فرق جوهري بين سعر الفائدة و APR يعني واحدًا من السيناريوهين أو كليهما: يستخدم القرض الفائدة المركبة ، أو أنه يتضمن رسوم قرض ضخمة بالإضافة إلى الفائدة.