تعريف العلاقة الخطية

ما هي العلاقة الخطية؟

العلاقة الخطية (أو الارتباط الخطي) هي مصطلح إحصائي يستخدم لوصف علاقة الخط الثابت بين المتغير والثابت. يمكن التعبير عن العلاقات الخطية إما بتنسيق رسومي حيث يتم توصيل المتغير والثابت عبر خط مستقيم أو بتنسيق رياضي حيث يتم ضرب المتغير المستقل بمعامل الميل ، يضاف بواسطة ثابت ، والذي يحدد المتغير التابع.

قد تتناقض العلاقة الخطية مع علاقة متعددة الحدود أو غير خطية (منحنية).

الماخذ الرئيسية

العلاقة الخطية (أو الارتباط الخطي) هي مصطلح إحصائي يستخدم لوصف علاقة الخط الثابت بين متغير وثابت. يمكن التعبير عن العلاقات الخطية إما بتنسيق رسومي أو كمعادلة رياضية للنموذج y = mx + b العلاقات الخطية شائعة إلى حد ما في الحياة اليومية.

المعادلة الخطية هي:

من الناحية الرياضية ، العلاقة الخطية هي العلاقة التي ترضي المعادلة:

$\begin{matrix} ذ = م س + ب \\ أين: \\ م = ميل \\ ب = التقاطع y \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & y = mx + b \\ & \ textbf {حيث:} \ & m = \ text {slope} \ & b = \ text {y-intercept} \ \ end {محاذاة}$ ص = م × + bwhere: م = = slopeb التقاطع y

في هذه المعادلة ، "x" و "y" هما متغيرين يرتبطان بالمعلمتين "m" و "b". بيانياً ، y = mx + b مؤامرات في المستوي xy كخط مع ميل "m" وتقاطع y "b." التقاطع y "b" هو ببساطة قيمة "y" عندما x = 0. يتم احتساب الميل "m" من أي نقطتين فرديتين (x ₁ ، y ₁) و (x ₂ ، y ₂) على النحو التالي:

$م = \frac{(ذ_{2} - ذ_{1})}{(س_{2} - س_{1})} m = \ frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)}$ م = (X2 -x1) (Y2 -y1)

علاقة خطية

ماذا تخبرك العلاقة الخطية؟

هناك ثلاث مجموعات من المعايير الضرورية التي يجب على المعادلة استيفائها من أجل التأهل كمعادلة خطية: لا يمكن أن تتكون المعادلة التي تعبر عن علاقة خطية من أكثر من متغيرين ، يجب أن تكون جميع المتغيرات في المعادلة في القدرة الأولى ، ويجب أن الرسم البياني المعادلة كخط مستقيم.

الوظيفة الخطية في الرياضيات هي تلك التي ترضي خصائص الإضافة والتجانس. تلاحظ الدوال الخطية أيضًا مبدأ التراكب ، الذي ينص على أن الناتج الصافي لمدخلات أو أكثر يساوي مجموع مخرجات المدخلات الفردية. العلاقة الخطية شائعة الاستخدام هي العلاقة ، التي تصف كيف يتغير أحد المتغيرات بطريقة خطية إلى تغيرات في متغير آخر.

في الاقتصاد القياسي ، يعد الانحدار الخطي طريقة شائعة الاستخدام لإنشاء علاقات خطية لشرح الظواهر المختلفة. ليست كل العلاقات خطية ، ولكن. تصف بعض البيانات العلاقات المنحنية (مثل العلاقات متعددة الحدود) بينما لا يزال من غير الممكن تحديد معلمات أخرى.

وظائف خطية

تشبه رياضيا العلاقة الخطية مفهوم الوظيفة الخطية. في متغير واحد ، يمكن كتابة دالة خطية على النحو التالي:

$\begin{matrix} F (س) = م س + ب \\ أين: \\ م = ميل \\ ب = التقاطع y \end{matrix} \ start {align} & f (x) = mx + b \\ & \ textbf {where:} \ & m = \ text {slope} \ & b = \ text {y-intercept} \ \ end {align}$ و (س) = م × + bwhere: م = = slopeb التقاطع y

هذا مطابق للصيغة المحددة للعلاقة الخطية فيما عدا أن الرمز f (x) يستخدم بدلاً من y. تم إجراء هذا الاستبدال لتسليط الضوء على معنى تعيين x على f (x) ، في حين يشير استخدام y ببساطة إلى أن x و y هما كميتان ، مرتبطان A و B.

في دراسة الجبر الخطي ، تتم دراسة خصائص الدوال الخطية على نطاق واسع وجعلها صارمة. بالنظر إلى المعيار C واثنين من المتجهات A و B من R ^N ، ينص التعريف العام للدالة الخطية على ما يلي: $ج \times F (أ + ب) = ج \times F (أ) + ج \times F (ب) c \ times f (A + B) = c \ times f (A) + c \ times f (B)$ ج × و (A + B) = ج × و (A) + ج × و (B)

أمثلة على العلاقات الخطية

مثال 1

العلاقات الخطية شائعة جدًا في الحياة اليومية. لنأخذ مفهوم السرعة على سبيل المثال. الصيغة التي نستخدمها لحساب السرعة هي كما يلي: معدل السرعة هو المسافة المقطوعة مع مرور الوقت. إذا كان شخص ما في حافلة صغيرة بيضاء اللون من كرايسلر تاون 2007 وكونتري كانت تسافر بين سكرامنتو وماريزفيل في كاليفورنيا ، على مسافة 41.3 ميلًا على الطريق السريع 99 ، وتستغرق الرحلة كاملةً 40 دقيقة ، وستكون الرحلة أقل من 60 ميلًا في الساعة.

على الرغم من وجود أكثر من متغيرين في هذه المعادلة ، إلا أنها لا تزال معادلة خطية لأن أحد المتغيرات سيكون دائمًا ثابتًا (المسافة).

مثال 2

يمكن أيضًا العثور على علاقة خطية في مسافة المعادلة = معدل × الوقت. نظرًا لأن المسافة رقم موجب (في معظم الحالات) ، يتم التعبير عن هذه العلاقة الخطية في الربع العلوي الأيمن من الرسم البياني ذي المحور X و Y.

إذا كانت دراجة مصنوعة لشخصين تسافر بمعدل 30 ميلًا في الساعة لمدة 20 ساعة ، فسوف ينتهي المتسابق بمسافة 600 ميل. يتم تمثيلها بيانيا مع المسافة على المحور ص والوقت على المحور س ، خط يسير على مدى تلك الساعات 20 سينتقل مباشرة من التقارب بين المحور س وصاد.

مثال 3

لتحويل Celsius إلى فهرنهايت ، أو فهرنهايت إلى Celsius ، يمكنك استخدام المعادلات أدناه. تعبر هذه المعادلات عن علاقة خطية على الرسم البياني:

$° C = \frac{5}{9} (° F - 32) \ degree C = \ frac {5} {9} ( degree F - 32)$ ° C = 95 (° F-32)

$° F = \frac{9}{5} (° C + 32) \ degree F = \ frac {9} {5} ( degree C + 32)$ ° F = 59 (° C + 32)

مثال 4

افترض أن المتغير المستقل هو حجم المنزل (كما تم قياسه بواسطة لقطات مربعة) والذي يحدد سعر السوق للمنزل (المتغير التابع) عندما يتم ضربه بمعامل الميل البالغ 207.65 ثم يضاف إلى المدى الثابت 10500 دولار. إذا كانت مساحة المنزل المربع تبلغ 1.250 ، فإن القيمة السوقية للمنزل هي (1،250 × 207.65) + 10500 دولار = 270،062.50 دولار. بيانيا ، وحسابيا ، يبدو على النحو التالي:

في هذا المثال ، مع زيادة حجم المنزل ، تزداد القيمة السوقية للمنزل بطريقة خطية.

يمكن تسمية بعض العلاقات الخطية بين كائنين بـ "ثابت التناسب". هذه العلاقة تظهر

$\begin{matrix} Y = ك \times X \\ أين: \\ ك = ثابت \\ Y ، X = كميات متناسبة \end{matrix} \ start {align} & Y = k \ times X \\ & \ textbf {where:} \ & k = \ text {ثابت} \ & Y، X = \ text {كميات متناسبة} \ \ end {محاذاة}$ Y = k × Xwhere: k = ثابت ، X = الكميات النسبية

عند تحليل البيانات السلوكية ، نادراً ما توجد علاقة خطية مثالية بين المتغيرات. ومع ذلك ، يمكن العثور على خطوط الاتجاه في البيانات التي تشكل نسخة تقريبية من العلاقة الخطية. على سبيل المثال ، يمكنك إلقاء نظرة على بيع الآيس كريم وعدد زيارات المستشفى كمتغيرين يلعبان في الرسم البياني وإيجاد علاقة خطية بين الاثنين.

جدول المحتويات: