الفائدة المركبة المستمرة

الفائدة المركبة هي الفائدة التي يتم احتسابها على رأس المال المبدئي وأيضًا على الفائدة المتراكمة للفترات السابقة للإيداع أو القرض. تأثير الفائدة المركبة يعتمد على التردد.

تفترض معدل فائدة سنوي قدره 12 ٪. إذا بدأنا السنة بمبلغ 100 دولار والمركب مرة واحدة فقط ، في نهاية السنة ، ينمو الرئيسي إلى 112 دولار (100 دولار × 1.12 = 112 دولار). إذا قمنا بدلاً من ذلك بمضاعفة كل شهر بمعدل 1٪ ، فسينتهي بنا بأكثر من 112 دولارًا في نهاية العام. وهذا هو ، 100 دولار × 1.01 ^ 12 بسعر 112.68 دولار. (إنها أعلى لأننا تراكبنا بشكل متكرر.)

تتضاعف بشكل مستمر العوائد المركبة بشكل متكرر. التركيب المستمر هو الحد الرياضي الذي يمكن أن تصل إليه الفائدة المركبة. إنها حالة متطرفة حيث أن معظم الفائدة تتضاعف على أساس شهري أو ربع سنوي أو نصف سنوي.

معدلات العائد نصف السنوية

أولاً ، دعونا نلقي نظرة على اتفاقية محيرة محتملة. في سوق السندات ، نشير إلى عائد معادل السندات (أو أساس معادل السندات). هذا يعني أنه إذا كان العائد على السندات 6 ٪ على أساس نصف سنوي ، فإن العائد المكافئ للسندات هو 12 ٪.

صورة لجولي بانج © Investopedia 2019

يتم مضاعفة العائد نصف السنوي ببساطة. قد يكون هذا مربكًا لأن العائد الفعلي لسند العائد المكافئ للسندات بنسبة 12٪ هو 12.36٪ (على سبيل المثال ، 1.06 ^ 2 = 1.1236). مضاعفة العائد نصف السنوي هو مجرد اتفاقية تسمية السندات. لذلك ، إذا قرأنا عن سندات بقيمة 8٪ مركبة نصف سنوية ، فإننا نفترض أن هذا يشير إلى عائد نصف سنوي يبلغ 4٪.

معدلات العائد الفصلية والشهرية واليومية

الآن ، دعونا نناقش الترددات العالية. ما زلنا نفترض معدل فائدة سوقي سنوي قدره 12٪. بموجب اصطلاحات تسمية السندات ، يتضمن ذلك معدل مركب نصف سنوي 6٪. يمكننا الآن التعبير عن المعدل المركب الفصلي كدالة لسعر الفائدة في السوق.

صورة لجولي بانج © Investopedia 2019

بالنظر إلى معدل السوق السنوي ( r) ، يتم إعطاء المعدل المركب الفصلي ( r _q) بواسطة:

$\begin{matrix} ص_{ف} = 4 \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & r_q = 4 \ left \\ \ end {محاذاة}$ RQ = 4

على سبيل المثال ، على سبيل المثال ، حيث يبلغ سعر السوق السنوي 12٪ ، يكون معدل المركب الفصلي 11.825٪:

$\begin{matrix} ص_{ف} = 4 ≅ 11.825 ٪ \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & r_q = 4 \ left \ cong 11.825 \٪ \\ \ end {محاذاة}$ RQ = 4≅11.825٪

صورة لجولي بانج © Investopedia 2019

منطق مماثل ينطبق على التركيب الشهري. يرد هنا المعدل الشهري المركب ( r _m ) كدالة لسعر الفائدة السوقي السنوي ( r):

يتم إعطاء المعدل اليومي المركب ( د) كدالة لسعر الفائدة في السوق ( ص) من خلال:

$\begin{matrix} ص_{د} & = 360 \\ = 360 \\ ≅ 11.66 ٪ \end{matrix} \ start {align} r_d & = 360 \ left \\ & = 360 \ left \\ & \ cong 11.66 \٪ \\ \ end {align}$ الثالثة = 360 = 360≅11.66٪

كيف يعمل التركيب المستمر

صورة لجولي بانج © Investopedia 2019

إذا قمنا بزيادة التردد المركب إلى الحد الأقصى ، فإننا نضاعف بشكل مستمر. في حين أن هذا قد لا يكون عمليا ، فإن سعر الفائدة المركب باستمرار يوفر خصائص مريحة بشكل رائع. اتضح أن سعر الفائدة المركب بشكل مستمر يعطى بواسطة:

$\begin{matrix} ص_{ج س ن تي أنا ن ش س ش س} = قانون الجنسية (1 + ص) \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & r_ {مستمر} = \ ln (1 + r) \ \ end {محاذاة}$ rcontinuous = قانون الجنسية (1 + ص)

Ln () هو السجل الطبيعي ، وفي مثالنا ، فإن المعدل المركب باستمرار هو:

$\begin{matrix} ص_{ج س ن تي أنا ن ش س ش س} = قانون الجنسية (1 + 0.12) = قانون الجنسية (1.12) ≅ 11.33 ٪ \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & r_ {مستمر} = \ ln (1 + 0.12) = \ ln (1.12) cong 11.33 \٪ \\ \ end {محاذاة}$ rcontinuous = قانون الجنسية (1 + 0.12) = من قانون الجنسية (1.12) ≅11.33٪

نصل إلى نفس المكان من خلال أخذ السجل الطبيعي لهذه النسبة: قيمة النهاية مقسومة على قيمة البداية.

$\begin{matrix} ص_{ج س ن تي أنا ن ش س ش س} = قانون الجنسية (\frac{{القيمة}_{النهاية}}{{القيمة}_{بداية}}) = قانون الجنسية (\frac{112}{100}) ≅ 11.33 ٪ \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & r_ {مستمر} = \ ln \ left ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ left ( frac {112} {100} right) cong 11.33 \٪ \\ \ end {align}$ rcontinuous = قانون الجنسية (ValueStart ValueEnd) = من قانون الجنسية (100112) ≅11.33٪

هذا الأخير شائع عند حساب العائد المركب باستمرار للسهم. على سبيل المثال ، إذا قفز السهم من 10 دولارات في اليوم إلى 11 دولارًا في اليوم التالي ، فيتم تقديم العائد اليومي المركب بشكل مستمر من خلال:

$\begin{matrix} ص_{ج س ن تي أنا ن ش س ش س} = قانون الجنسية (\frac{{القيمة}_{النهاية}}{{القيمة}_{بداية}}) = قانون الجنسية (\frac{$ 11}{$ 10}) ≅ 9.53 ٪ \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & r_ {مستمر} = \ ln \ left ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ left ( frac { $ 11} { $ 10} right) cong 9.53 \٪ \\ \ end {محاذاة}$ rcontinuous = قانون الجنسية (ValueStart ValueEnd) = من قانون الجنسية ($ 10 $ 11) ≅9.53٪

ما هو الشيء العظيم في المعدل المركب باستمرار (أو العائد) الذي سنشير إليه بـ r _c ؟ أولاً ، من السهل توسيعه للأمام. بالنظر إلى مبدأ (P) ، يتم إعطاء ثروتنا النهائية على (n) سنوات بواسطة:

$\begin{matrix} ث = P {البريد}^{ص_{ج} ن} \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & w = Pe ^ {r_c n} \ \ end {محاذاة}$ ث = الايثيلين ن

لاحظ أن e هي الدالة الأسية. على سبيل المثال ، إذا بدأنا بمبلغ 100 دولار وتضاعفنا باستمرار بنسبة 8 ٪ على مدى ثلاث سنوات ، فإن الثروة النهائية يتم تقديمها بواسطة:

$\begin{matrix} ث = $ 100 {البريد}^{(0.08) (3)} = $ 127.12 \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & w = \ $ 100e ^ {(0.08) (3)} = \ $ 127.12 \\ \ end {محاذاة}$ ث = $ 100E (0.08) (3) = $ 127.12

التخفيض على القيمة الحالية (PV) هو مجرد مضاعفة في الاتجاه المعاكس ، وبالتالي فإن القيمة الحالية للقيمة المستقبلية (F) تتضاعف بشكل مستمر بمعدل ( r _c) :

$\begin{matrix} PV من F وردت في (ن) سنوات = \frac{F}{{البريد}^{ص_{ج} ن}} = F {البريد}^{- ص_{ج} ن} \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & \ text {PV من F المستلمة في (n) سنوات} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ {-r_c n} \ \ end {محاذاة}$ PV من F المستلمة في (n) سنوات = erc nF = Fe − rc n

على سبيل المثال ، إذا كنت ستحصل على 100 دولار في ثلاث سنوات تحت معدل مستمر 6 ٪ ، فإن القيمة الحالية تعطى بواسطة:

$\begin{matrix} PV = F {البريد}^{- ص_{ج} ن} = ($ 100) {البريد}^{- (0.06) (3)} = $ 100 {البريد}^{- 0.18} ≅ $ 83.53 \end{matrix} \ start {align} & \ text {PV} = Fe ^ {-r_c n} = ( $ 100) e ^ {- (0.06) (3)} = \ $ 100 e ^ {-0.18} cong \ $ 83.53 \\ \ نهاية {} الانحياز$ PV = الحديد الصليب الأحمر ن = ($ 100) ه- (0.06) (3) = $ 100E-0.18≅ $ 83.53

التحجيم على فترات متعددة

الخاصية المريحة للعائدات المركبة بشكل مستمر هي أنها تحجيم على فترات متعددة. إذا كان العائد للفترة الأولى 4٪ والعائد للفترة الثانية 3٪ ، فإن العائد بفترتين 7٪. خذ بعين الاعتبار أننا نبدأ العام بمبلغ 100 دولار ، والذي ينمو إلى 120 دولارًا في نهاية السنة الأولى ، ثم 150 دولارًا في نهاية السنة الثانية. العوائد المركبة بشكل مستمر هي ، على التوالي ، 18.23 ٪ و 22.31 ٪.

$\begin{matrix} قانون الجنسية (\frac{120}{100}) ≅ 18.23 ٪ \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & \ ln \ left ( frac {120} {100} right) cong 18.23 \٪ \\ \ end {محاذاة}$ قانون الجنسية (100120) ≅18.23٪

$\begin{matrix} قانون الجنسية (\frac{150}{120}) ≅ 22.31 ٪ \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & \ ln \ left ( frac {150} {120} right) cong 22.31 \٪ \\ \ end {محاذاة}$ قانون الجنسية (120150) ≅22.31٪

إذا قمنا ببساطة بإضافة هذه معا ، نحصل على 40.55 ٪. هذا هو عودة فترة اثنين:

$\begin{matrix} قانون الجنسية (\frac{150}{100}) ≅ 40.55 ٪ \end{matrix} \ تبدأ {محاذاة} & \ ln \ left ( frac {150} {100} right) cong 40.55 \٪ \\ \ end {محاذاة}$ قانون الجنسية (100150) ≅40.55٪

من الناحية الفنية ، فإن العائد المستمر هو وقت ثابت. الاتساق الزمني هو أحد المتطلبات الفنية للقيمة المعرضة للخطر (VAR). هذا يعني أنه إذا كان العائد لفترة واحدة هو متغير عشوائي موزع بشكل طبيعي ، فنحن نريد توزيع المتغيرات العشوائية متعددة الفترات بشكل طبيعي أيضًا. علاوة على ذلك ، عادةً ما يتم توزيع العائد المركب بشكل متواصل متعدد الفترات (على عكس ، على سبيل المثال ، نسبة مئوية بسيطة للعودة).

الخط السفلي

يمكننا إعادة صياغة أسعار الفائدة السنوية إلى أسعار فائدة نصف سنوية أو فصلية أو شهرية أو يومية (أو معدلات عائد). التركيب الأكثر شيوعًا هو التركيب المستمر ، والذي يتطلب منا استخدام سجل طبيعي ووظيفة الأس ، والذي يشيع استخدامه في التمويل نظرًا لخصائصه المرغوبة - إنه يتدرج بسهولة على فترات متعددة ويتسق مع الوقت.

جدول المحتويات:

معدلات العائد نصف السنوية

معدلات العائد الفصلية والشهرية واليومية

كيف يعمل التركيب المستمر

التحجيم على فترات متعددة

الخط السفلي

اختيار المحرر