يمكن أن تكون خيارات تثمين عملًا صعبًا. اطلع على السيناريو التالي: في يناير 2015 ، تم تداول سهم IBM عند 155 دولارًا وكنت تتوقع ارتفاعه في العام المقبل. تنوي شراء خيار استدعاء على سهم IBM بسعر صرف ATM يبلغ 155 دولارًا ، وتتوقع الاستفادة من عوائد النسبة المئوية المرتفعة ، استنادًا إلى تكلفة خيار صغيرة (علاوة خيار) ، مقارنة بشراء الأسهم بسعر شراء مرتفع.
ماذا يجب أن تكون القيمة العادلة لخيار الاتصال هذا على IBM؟
اليوم ، تتوفر عدة طرق مختلفة جاهزة لخيارات القيمة - بما في ذلك نموذج Black-Scholes ونموذج شجرة ذات الحدين - والتي يمكن أن توفر إجابات سريعة. ولكن ما هي العوامل الأساسية ومفاهيم القيادة للوصول إلى نماذج التقييم هذه؟ هل يمكن إعداد شيء مشابه ، بناءً على مفهوم هذه النماذج؟
هنا ، نحن نغطي العناصر الأساسية والمفاهيم الأساسية والعوامل التي يمكن استخدامها كإطار عمل لبناء نموذج تقييم لأصل ما مثل الخيارات ، مما يوفر مقارنة جنبًا إلى جنب مع أصول Black-Scholes (BS) نموذج.
العالم قبل بلاك سكولز
قبل Black-Scholes ، تم اتباع نموذج التسعير الرأسمالي القائم على التوازن (CAPM) على نطاق واسع. تمت موازنة العوائد والمخاطر مع بعضها البعض ، بناءً على تفضيل المستثمر ، أي أنه من المتوقع تعويض المستثمر ذي المجازفة العالية بعائدات أعلى بنسبة مماثلة.
يجد نموذج BS جذوره في CAPM. وفقًا لـ Fisher Black: "لقد طبقت نموذج تسعير الأصول الرأسمالية على كل لحظة في عمر أمر الاستحقاق ، مقابل كل سعر أسهم ممكن وقيمة أمر ضمان." لسوء الحظ ، لم يتمكن CAPM من الوفاء بمتطلبات تسعير أمر الضمان (الخيار).
تظل Black-Scholes النموذج الأول ، استنادًا إلى مفهوم التحكيم ، مما يؤدي إلى تحول نموذجي عن النماذج القائمة على المخاطر (مثل CAPM). استبدل تطوير نموذج BS الجديد مفهوم CAPM لعائد الأسهم مع الاعتراف بحقيقة أن المركز المتحوط تمامًا سيكسب معدلًا خالٍ من المخاطر. وقد أدى ذلك إلى اختلافات المخاطر والعائد ، ووضع مفهوم المراجحة حيث يتم إجراء التقييمات على افتراضات مفهوم محايد للمخاطر - يجب أن يؤدي وضع التحوط (بدون مخاطر) إلى معدل عائد خالٍ من المخاطر.
تطوير بلاك سكولز
لنبدأ بتحديد المشكلة وتحديد حجمها ووضع إطار لحلها. نواصل مثالنا على تقييم خيار استدعاء أجهزة الصراف الآلي على آي بي إم بسعر صرف يبلغ 155 دولارًا مع سنة واحدة تنتهي صلاحيتها.
على أساس التعريف الأساسي لخيار الدعوة ، ما لم يصل سعر السهم إلى مستوى سعر الإضراب ، فإن العائد يظل صفراً. بعد ذلك المستوى ، تزداد المداخيل بشكل خطي (أي أن زيادة دولار واحد في المبلغ الأساسي ستوفر مكافأة دولار واحد من خيار الاستدعاء).
على افتراض أن المشتري والبائع يتفقان على التقييم العادل (بما في ذلك سعر الصفر) ، فإن السعر العادل النظري لخيار الاستدعاء هذا سيكون:
- سعر خيار الاتصال = 0 دولار ، إذا كان <الضربة الأساسية (الرسم البياني الأحمر) سعر خيار الاتصال = (الضمنية - الضربة) ، إذا كان الضمني> = الضربة (الرسم البياني الأزرق)
هذا يمثل القيمة الجوهرية للخيار ويبدو مثاليًا من وجهة نظر مشتر خيار الشراء. في المنطقة الحمراء ، لدى كل من البائع والمشتري تقييم عادل (سعر الصفر للبائع ، صفر مكافأة للمشتري). ومع ذلك ، يبدأ تحدي التقييم بالمنطقة الزرقاء ، حيث يتمتع المشتري بميزة المردود الإيجابي ، بينما يعاني البائع من الخسارة (شريطة أن يكون السعر الأساسي أعلى من سعر الإضراب). هذا هو المكان الذي يمتلك فيه المشتري ميزة على البائع بسعر صفر. يجب أن يكون السعر غير صفري لتعويض البائع عن المخاطرة التي يتحملها.
في الحالة السابقة (الرسم البياني الأحمر) ، نظريًا ، يتم استلام سعر الصفر من قبل البائع ولا يوجد أي عائد محتمل للمشتري (عادل لكليهما). في الحالة الأخيرة (الرسم البياني الأزرق) ، يجب على المشتري أن يدفع الفرق بين الضربة الأساسية والإضراب. تمتد مخاطر البائع على مدار عام كامل. على سبيل المثال ، يمكن أن يتحرك سعر السهم الأساسي عالياً للغاية (قل إلى 200 دولار في غضون أربعة أشهر) وعلى البائع أن يدفع للمشتري الفرق البالغ 45 دولارًا.
وبالتالي ، فإنه يتلخص في:
- هل سيتجاوز سعر الضم الأساسي سعر الإضراب؟ إذا حدث ذلك ، فما مدى ارتفاع السعر الأساسي (حيث سيحدد ذلك العائد للمشتري)؟
يشير هذا إلى المخاطرة الكبيرة التي يتحملها البائع ، الأمر الذي يؤدي إلى التساؤل - لماذا يبيع شخص ما مثل هذه المكالمة ، إذا لم يتلق أي شيء للمخاطرة التي يتعرض لها؟
هدفنا هو التوصل إلى سعر واحد يجب على البائع تحصيله من المشتري ، والذي يمكن أن يعوضه عن مجمل المخاطر التي يتعرض لها على مدار عام - في كل من منطقة الدفع صفر (الأحمر) ومنطقة الدفع الخطي (الأزرق). يجب أن يكون السعر عادلاً ومقبولاً لكل من البائع والمشتري. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فلن يشارك الشخص الذي هو في وضع غير موات من حيث دفع أو تلقي سعر غير عادل في السوق ، وبالتالي هزيمة الغرض من الأعمال التجارية. يهدف نموذج Black-Scholes إلى تحديد هذا السعر العادل من خلال النظر في تباين ثابت في سعر السهم ، والقيمة الزمنية للنقود ، وسعر تنفيذ الخيار ووقت انتهاء صلاحية الخيار. على غرار نموذج BS ، دعونا نرى كيف يمكننا اتباع نهج لتقييم ذلك على سبيل المثال باستخدام أساليبنا الخاصة.
كيفية تقييم القيمة الجوهرية في المنطقة الزرقاء؟
هناك طريقتان متاحتان للتنبؤ بحركة السعر المتوقعة في المستقبل خلال فترة زمنية محددة:
- يمكن للمرء تحليل تحركات الأسعار المماثلة من نفس المدة في الماضي القريب. يشير سعر إغلاق IBM التاريخي إلى أنه في السنة الماضية (من 2 يناير 2014 إلى 31 ديسمبر 2014) ، انخفض السعر إلى 160.44 دولارًا من 185.53 دولارًا ، أي بانخفاض قدره 13.5٪. هل يمكن أن نستنتج تحرك سعر لـ13.5٪ لـ IBM؟ يشير فحص مفصل آخر إلى أنه وصل إلى أعلى مستوى سنوي قدره 199.21 دولار (في 10 أبريل 2014) وأدنى مستوى سنوي قدره 150.5 دولار (في 16 ديسمبر 2014). استنادًا إلى ذلك في يوم البدء ، 2 كانون الثاني (يناير) 2014 ، وسعر الإغلاق البالغ 185.53 دولارًا ، تختلف نسبة التغيير من + 7.37٪ إلى -18.88٪. الآن ، يبدو نطاق التباين أوسع بكثير مقارنةً بالهبوط المحسوب سابقًا بنسبة 13.5٪.
يمكن إجراء تحليلات وملاحظات مماثلة حول البيانات التاريخية. لمتابعة تطوير نموذج التسعير لدينا ، دعنا نفترض هذه المنهجية البسيطة لقياس تباينات الأسعار في المستقبل.
افترض أن IBM ترتفع بنسبة 10٪ كل عام (استنادًا إلى البيانات التاريخية لـ 20 عامًا الماضية). تشير الإحصاءات الأساسية إلى أن احتمال تغير سعر سهم IBM الذي يحوم حول + 10٪ سيكون أعلى بكثير من احتمال ارتفاع سعر IBM بنسبة 20٪ أو انخفاضه بنسبة 30٪ ، على افتراض أن الأنماط التاريخية تتكرر. جمع نقاط بيانات تاريخية مماثلة مع قيم الاحتمالات ، يمكن حساب العائد الإجمالي المتوقع على سعر سهم IBM في إطار زمني مدته سنة واحدة كمتوسط مرجح للاحتمالات والعائدات المرتبطة بها. على سبيل المثال ، افترض أن بيانات الأسعار التاريخية لشركة IBM تشير إلى التحركات التالية:
- (-10٪) في 25٪ من المرات ، + 10٪ في 35٪ من المرات ، + 15٪ في 20٪ من المرات ، + 20٪ في 10٪ من المرات ، + 25٪ في 5٪ من المرات و (-15٪) في 5٪ من المرات.
وبالتالي ، يأتي المتوسط المرجح (أو القيمة المتوقعة) في:
(-10٪ * 25٪ + 10٪ * 35٪ + 15٪ * 20٪ + 20٪ * 10٪ + 25٪ * 5٪ - 15٪ * 5٪) / 100٪ = 6.5٪
وهذا يعني ، في المتوسط ، من المتوقع أن يرتفع سعر سهم IBM بنسبة + 6.5٪ خلال عام واحد مقابل كل دولار. إذا اشترى شخص ما أسهم IBM بفترة أفق مدتها عامًا وبسعر شراء قدره 155 دولارًا ، فيمكن أن يتوقع المرء عائدًا صافًا قدره 155 * 6.5٪ = 10.075 دولار.
ومع ذلك ، هذا هو لعائد الأسهم. نحن بحاجة إلى البحث عن عوائد متوقعة مماثلة لخيار الاتصال.
بناءً على العائد الصفري للمكالمة التي تقل عن سعر التنفيذ (السعر الحالي البالغ 155 دولارًا - مكالمة الصراف الآلي) ، فإن جميع الحركات السلبية ستولد عوائد صفرية ، في حين أن جميع الحركات الإيجابية فوق سعر الإضراب ستولد عائدًا مكافئًا. العائد المتوقع لخيار المكالمة سيكون بالتالي:
(-0٪ * 25٪ + 10٪ * 35٪ + 15٪ * 20٪ + 20٪ * 10٪ + 25٪ * 5٪ - 0 ٪ * 5٪) / 100٪ = 9.75٪
أي لكل 100 دولار يتم استثمارها في شراء هذا الخيار ، يمكن للمرء أن يتوقع 9.75 دولار (على أساس الافتراضات المذكورة أعلاه).
ومع ذلك ، لا يزال هذا محصوراً في التقييم العادل للكمية الجوهرية للخيار ولا يعكس بشكل صحيح المخاطر التي يتحملها بائع الخيار للتأرجحات العالية التي يمكن أن تحدث في الفترة المؤقتة (في حالة حدوث انخفاض عالٍ في المستوى المذكور أعلاه عاليًا ومنخفضًا) الأسعار). بالإضافة إلى القيمة الجوهرية ، ما هو السعر الذي يمكن للمشتري والبائع الاتفاق عليه ، بحيث يتم تعويض البائع إلى حد ما عن المخاطرة التي يتحملها خلال الإطار الزمني لمدة عام؟
قد تختلف هذه التقلبات على نطاق واسع وقد يكون لدى البائع تفسيره الخاص للمبلغ الذي يريد تعويضه عنه. يفترض نموذج Black-Scholes خيارات من النوع الأوروبي ، أي لا تمرين قبل تاريخ انتهاء الصلاحية. وبالتالي ، فإنه لا يتأثر بتقلبات الأسعار الوسيطة ويستند تقييمه في أيام التداول من البداية إلى النهاية.
في التداول اليومي الحقيقي ، يلعب هذا التقلب دورًا مهمًا في تحديد أسعار الخيارات. وظيفة المردود الأزرق التي نراها عادة هي في الواقع المردود في تاريخ انتهاء الصلاحية. في الواقع ، يكون سعر الخيار (الرسم البياني الوردي) أعلى دائمًا من المردود (الرسم البياني الأزرق) ، مما يشير إلى السعر الذي أخذه البائع للتعويض عن قدراته على المخاطرة. هذا هو السبب في أن سعر الخيار يُعرف أيضًا باسم "علاوة" الخيار - مما يشير بشكل أساسي إلى علاوة المخاطرة.
يمكن تضمين ذلك في نموذج التقييم الخاص بنا ، وهذا يتوقف على مقدار التذبذب المتوقع في سعر السهم ومقدار القيمة المتوقعة.
يعمل نموذج Black-Scholes بكفاءة (بالطبع ، ضمن افتراضاته الخاصة) على النحو التالي:
C = S × N (D1) -X × الإلكترونية RTN (D2)
يفترض نموذج BS التوزيع غير الطبيعي لحركات أسعار الأسهم ، وهو ما يبرر استخدام N (d1) و N (d2).
- في الجزء الأول ، يشير S إلى السعر الحالي للسهم. N (d1) يشير إلى احتمال حركة السعر الحالية للسهم.
إذا ذهب هذا الخيار إلى النقود مما سمح للمشتري بممارسة هذا الخيار ، فسيحصل على حصة واحدة من أسهم IBM الأساسية. إذا مارس التاجر هذا اليوم ، فإن S * N (d1) يمثل القيمة المتوقعة لليوم الحالي للخيار.
في الجزء الثاني ، تشير X إلى سعر الإضراب.
- يمثل N (d2) احتمال أن يكون سعر السهم أعلى من سعر الإضراب. لذا فإن X * N (d2) يمثل القيمة المتوقعة لسعر السهم المتبقي فوق سعر الإضراب.
نظرًا لأن نموذج Black-Scholes يفترض خيارات النمط الأوروبي حيث يكون التمرين ممكنًا في النهاية فقط ، يجب خصم القيمة المتوقعة الممثلة أعلاه بواسطة X * N (d2) للقيمة الزمنية للنقود. وبالتالي ، يتم ضرب الجزء الأخير مع مصطلح أسي رفع إلى سعر الفائدة على مدى الفترة الزمنية.
يشير صافي الفرق بين المصطلحين إلى قيمة سعر الخيار اعتبارًا من اليوم (حيث يتم خصم المدة الثانية)
في إطارنا ، يمكن تضمين تحركات الأسعار هذه بشكل أكثر دقة من خلال طرق متعددة:
- مزيد من التحسين لحسابات العائد المتوقعة من خلال توسيع النطاق إلى فواصل زمنية أدق لتشمل حركات الأسعار خلال اليوم / خلال اليوم تتضمن بيانات السوق الحالية ، حيث إنها تعكس نشاط اليوم الحالي (على غرار التقلبات الضمنية) العوائد المتوقعة في تاريخ انتهاء الصلاحية ، والتي يمكن أن يتم خصمها مرة أخرى إلى يومنا هذا للحصول على تقييمات واقعية ومزيد من التخفيض من قيمة اليوم الحالي
وبالتالي ، فإننا نرى أنه لا يوجد حد للافتراضات والمنهجيات والتخصيص المطلوب اختيارها للتحليل الكمي. اعتمادًا على الأصل الذي سيتم تداوله أو الاستثمار المراد دراسته ، قد يتم تطوير نموذج مطور ذاتيًا. من المهم الإشارة إلى أن تقلبات حركات الأسعار لمختلف فئات الأصول تختلف كثيرًا - حيث يكون للأسهم انحراف في التقلبات ، وللتداول في الفوركس تقلبًا - ويجب على المستخدمين دمج أنماط التقلب السارية في نماذجهم. تعتبر الافتراضات والعيوب جزءًا لا يتجزأ من أي نموذج ويمكن للتطبيق المعرفي للنماذج في سيناريوهات التداول في العالم الحقيقي أن يحقق نتائج أفضل.
الخط السفلي
مع دخول الأصول المعقدة إلى الأسواق أو حتى دخول أصول الفانيليا البسيطة إلى أشكال معقدة من التداول ، أصبحت النماذج والتحليلات الكمية إلزامية للتقييم. لسوء الحظ ، لا يأتي أي نموذج رياضي بدون مجموعة من العيوب والافتراضات. أفضل طريقة هي الإبقاء على الافتراضات عند الحد الأدنى وإدراك العيوب الضمنية ، والتي يمكن أن تساعد في رسم الخطوط حول استخدام النماذج وتطبيقها.
