جدول المحتويات
- التوزيع الطبيعي (منحنى الجرس)
- المخاطر والعوائد
- نظرية المحفظة الحديثة
- لبنات البناء
- مثال سريع على MPT
- التحديات التي تواجه MPT والتوزيع
- الخط السفلي
التوزيع الطبيعي هو توزيع الاحتمالات الذي يرسم كل قيمه بطريقة متناظرة مع وجود معظم النتائج حول متوسط الاحتمال.
التوزيع الطبيعي (منحنى الجرس)
تميل مجموعات البيانات (مثل ارتفاع 100 شخص ، والعلامات التي حصل عليها 45 تلميذاً في الفصل ، وما إلى ذلك) إلى وجود العديد من القيم في نفس نقطة البيانات أو في نفس النطاق. هذا التوزيع لنقاط البيانات يسمى التوزيع الطبيعي أو توزيع منحنى الجرس.
على سبيل المثال ، في مجموعة مكونة من 100 فرد ، 10 قد يكون طولهم أقل من 5 أقدام ، و 65 قد يقف بين 5 و 5.5 قدم و 25 قد يكون أعلى من 5.5 قدم. يمكن رسم هذا التوزيع المرتبط بالنطاق على النحو التالي:
وبالمثل ، قد تشبه نقاط البيانات المرسومة في الرسوم البيانية لأي مجموعة بيانات معينة أنواعًا مختلفة من التوزيعات. ثلاثة من الأكثر شيوعًا هي توزيعات محاذاة إلى اليسار ، محاذاة إلى اليمين وتوزيعات مختلطة:
لاحظ خط الاتجاه الأحمر في كل من هذه الرسوم البيانية. يشير هذا تقريبًا إلى اتجاه توزيع البيانات. يشير الأول ، "توزيع محاذاة إلى اليسار" ، إلى أن غالبية نقاط البيانات تقع في النطاق الأدنى. في الرسم البياني الثاني "التوزيع المحاذي لليمين" ، تقع غالبية نقاط البيانات في الطرف الأعلى من النطاق ، في حين تمثل الأخيرة "التوزيع المختلط" مجموعة بيانات مختلطة دون أي اتجاه واضح.
هناك الكثير من الحالات التي يكون فيها توزيع نقاط البيانات حول قيمة مركزية ، ويوضح هذا الرسم البياني توزيعًا طبيعيًا مثاليًا - متوازنًا على كلا الجانبين ، مع تركيز أكبر عدد من نقاط البيانات في المركز.
إليك مجموعة بيانات مثالية وموزعة بشكل طبيعي:
القيمة المركزية هنا هي 50 (التي تحتوي على أكبر عدد من نقاط البيانات) ، والتوزيع يتناقص بشكل موحد باتجاه قيم النهاية القصوى 0 و 100 (التي تحتوي على أقل عدد من نقاط البيانات). التوزيع الطبيعي متماثل حول القيمة المركزية بنصف القيم على كل جانب.
هناك الكثير من الأمثلة الواقعية التي تناسب توزيع منحنى الجرس:
- ارم عملة معدنية عادلة عدة مرات (قل 100 مرة أو أكثر) وستحصل على توزيع طبيعي متوازن للرؤوس والأوزان. قم بتدوير زوج من الزهر العادل عدة مرات (قل 100 مرة أو أكثر) وستكون النتيجة متوازنة وعادية يتمحور التوزيع حول الرقم 7 والانتقال بشكل موحد نحو القيم القصوى 2 و 12. ارتفاع الأفراد في مجموعة كبيرة الحجم والعلامات التي حصل عليها الناس في الفصل كلا تتبع الأنماط العادية للتوزيع. في التمويل ، والتغيرات في قيم السجل من أسعار العملات الأجنبية ومؤشرات الأسعار وأسعار الأسهم يفترض أن يتم توزيعها بشكل طبيعي.
المخاطر والعوائد
أي استثمار له جانبان: المخاطر والعائد. يبحث المستثمرون عن أدنى خطر محتمل لأعلى عائد ممكن. التوزيع العادي يحدد هذين الجانبين بمتوسط العوائد والانحراف المعياري للمخاطر. (لمزيد من المعلومات ، راجع "تحليل التباين المتوسط".)
القيمة المتوسطة أو المتوقعة
يمكن أن يكون التغير المتوسط المعين لسعر السهم 1.5٪ على أساس يومي - مما يعني أنه في المتوسط يرتفع بنسبة 1.5٪. يمكن الوصول إلى هذه القيمة المتوسطة أو القيمة المتوقعة للدلالة على العائد من خلال حساب المتوسط في مجموعة بيانات كبيرة بما فيه الكفاية تحتوي على تغييرات الأسعار اليومية التاريخية لهذا السهم. كلما كان المتوسط أعلى ، كان ذلك أفضل.
الانحراف المعياري
يشير الانحراف المعياري إلى مقدار انحراف القيم في المتوسط عن المتوسط. كلما زاد الانحراف المعياري ، زاد الاستثمار ، لأنه يؤدي إلى مزيد من عدم اليقين.
هنا هو تمثيل رسومي للنفس:
وبالتالي ، فإن التمثيل البياني للتوزيع الطبيعي من خلال الانحراف المعياري والمعياري يتيح تمثيل كل من العوائد والمخاطر ضمن نطاق محدد بوضوح.
يساعدنا في معرفة (والتأكد من اليقين) أنه إذا اتبعت بعض مجموعات البيانات نمط التوزيع الطبيعي ، فسيسمح لنا الوسط بمعرفة ماهية العائدات المتوقعة ، وسيسمح لنا الانحراف المعياري بمعرفة أن حوالي 68٪ من القيم سيكون ضمن الانحراف المعياري 1 ، 95٪ ضمن الانحرافات المعيارية و 99٪ من القيم ستقع ضمن 3 الانحرافات المعيارية. مجموعة البيانات التي لها متوسط 1.5 والانحراف المعياري 1 هي أكثر خطورة من مجموعة بيانات أخرى لها متوسط 1.5 وانحراف معياري قدره 0.1.
معرفة هذه القيم لكل أصل محدد (أي الأسهم والسندات والصناديق) سيجعل المستثمر على دراية بالعائدات والمخاطر المتوقعة.
من السهل تطبيق هذا المفهوم وتمثيل المخاطر والعائد على سهم واحد أو سند أو صندوق واحد. ولكن هل يمكن توسيع هذا ليشمل محفظة الأصول المتعددة؟
يبدأ الأفراد التداول عن طريق شراء سهم واحد أو سند أو الاستثمار في صندوق مشترك. تدريجيا ، فإنها تميل إلى زيادة ممتلكاتهم وشراء العديد من الأسهم أو الأموال أو الأصول الأخرى ، وبالتالي إنشاء محفظة. في هذا السيناريو الإضافي ، يقوم الأفراد ببناء حقائبهم دون استراتيجية أو توقع كثير. يتبع مدراء الصناديق المحترفون والتجار وصناع السوق طريقة منهجية لبناء محافظهم المالية باستخدام منهج رياضي يسمى نظرية المحفظة الحديثة (MPT) التي تقوم على مفهوم "التوزيع الطبيعي".
نظرية المحفظة الحديثة
تقدم نظرية الحافظة الحديثة (MPT) منهجًا رياضيًا منهجيًا يهدف إلى زيادة العائد المتوقع للمحفظة إلى أقصى حد ممكن مقابل مقدار معين من مخاطر الحافظة من خلال تحديد نسب الأصول المختلفة. بالتناوب ، فإنه يوفر أيضًا تقليل المخاطر لمستوى معين من العائد المتوقع.
لتحقيق هذا الهدف ، لا ينبغي اختيار الأصول التي سيتم تضمينها في الحافظة فقط بناءً على استحقاقها الفردي ، ولكن بدلاً من ذلك على كيفية أداء كل أصل بالنسبة للأصول الأخرى في الحافظة.
باختصار ، تحدد MPT أفضل طريقة لتحقيق تنويع محفظة الأوراق المالية للحصول على أفضل النتائج الممكنة: أقصى عائد لمستوى مقبول من المخاطرة أو الحد الأدنى من المخاطرة لمستوى العوائد المرغوب فيه.
لبنات البناء
كانت MPT مفهومًا ثوريًا عندما تم تقديمه إلى أن مخترعيها فازوا بجائزة نوبل. قدمت هذه النظرية بنجاح صيغة رياضية لتوجيه التنويع في الاستثمار.
التنويع هو أسلوب لإدارة المخاطر ، يزيل مخاطر "جميع البيض في سلة واحدة" من خلال الاستثمار في الأسهم أو القطاعات أو فئات الأصول غير المرتبطة. من الناحية المثالية ، سيؤدي الأداء الإيجابي لأحد الأصول في الحافظة إلى إلغاء الأداء السلبي للأصول الأخرى.
لأخذ متوسط عائد الحافظة الذي يحتوي على أصول مختلفة ، يتم حساب التركيبة الموزونة بالتناسب لعائدات الأصول المكونة.
نظرًا لطبيعة الحسابات الإحصائية والتوزيع الطبيعي ، يتم حساب العائد الإجمالي للمحفظة (R p) على النحو التالي:
روبية = Σwi ري
المجموع (∑) ، حيث w i هو الوزن النسبي للأصل i في المحفظة ، R i هو عائد (الوسط) للأصل i.
مخاطر المحفظة (أو الانحراف المعياري) هي دالة على الارتباطات بين الأصول المشمولة ، لجميع أزواج الأصول (فيما يتعلق ببعضها البعض في الزوج).
نظرًا لطبيعة الحسابات الإحصائية والتوزيع الطبيعي ، يتم حساب إجمالي مخاطر المحفظة (Std-dev) p على النحو التالي:
(STD-ديف) ص = الجذر التربيعي
هنا ، cor-cof هو معامل الارتباط بين عائدات الأصول i و j ، و sqrt هي الجذر التربيعي.
هذا يعتني الأداء النسبي لكل الأصول فيما يتعلق الآخر.
على الرغم من أن هذا يبدو معقدًا من الناحية الرياضية ، فإن المفهوم البسيط المطبق هنا لا يشمل فقط الانحرافات المعيارية للأصول الفردية ، ولكن أيضًا تلك المرتبطة فيما يتعلق ببعضها البعض.
مثال جيد متاح هنا من جامعة واشنطن.
مثال سريع على MPT
كتجربة تفكير ، دعنا نتخيل أننا مدير محفظة تم إعطاؤه رأس مال ومكلف بكيفية تخصيص رأس مال لموجودين متاحين (أ و ب) بحيث يتم زيادة العائد المتوقع وتقليل المخاطر.
لدينا أيضا القيم التالية المتاحة:
R a = 0.175
R ب = 0.055
(Std-dev) = 0.258
(Std-dev) ب = 0.115
(Std-dev) ab = -0.004875
(Cor-cof) ab = -0.164
بدءًا من تخصيص 50-50 لكل أصل A و B ، يتم حساب R p إلى 0.115 ويصل (Std-dev) p إلى 0.1323. تخبرنا مقارنة بسيطة أنه بالنسبة لمحفظة الأصول 2 ، يكون العائد بالإضافة إلى المخاطرة في منتصف المسافة بين القيم الفردية لكل أصل.
ومع ذلك ، فإن هدفنا هو تحسين عائد المحفظة بما يتجاوز مجرد متوسط الأصول الفردية وتقليل المخاطر ، بحيث يكون أقل من عائد الأصول الفردية.
لنأخذ الآن موضع تخصيص رأس المال 1.5 في الأصول A ، وموقف تخصيص رأس المال -0.5 في الأصل B. (تخصيص رأس المال السلبي يعني التقليل من استخدام الأسهم ورأس المال المستلم لشراء فائض الأصول الأخرى بتخصيص رأس مال إيجابي. بعبارة أخرى ، نحن نختزل الأسهم B لمدة 0.5 مرة من رأس المال ونستخدم تلك الأموال لشراء الأسهم A بمبلغ 1.5 مرة من رأس المال.)
باستخدام هذه القيم ، نحصل على R p كـ 0.1604 و (Std-dev) p كـ 0.4005.
وبالمثل ، يمكننا الاستمرار في استخدام أوزان تخصيص مختلفة للأصول A و B ، والتوصل إلى مجموعات مختلفة من Rp و (Std-dev) p. وفقًا للعائد المطلوب (Rp) ، يمكن للمرء اختيار مستوى المخاطرة الأكثر قبولًا (std-dev) p. بالتناوب ، لمستوى المخاطرة المطلوب ، يمكن للمرء اختيار أفضل عائد محفظة المتاحة. في كلتا الحالتين ، من خلال هذا النموذج الرياضي لنظرية المحفظة ، من الممكن تحقيق الهدف المتمثل في إنشاء محفظة فعالة مع مزيج المخاطر والعائد المرغوب.
يتيح استخدام الأدوات الآلية إمكانية اكتشاف أفضل النسب المخصصة بسهولة وبسلاسة بسهولة ، دون الحاجة إلى إجراء حسابات يدوية طويلة.
تتطور الحدود الفعالة ونموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM) وتسعير الأصول باستخدام MPT أيضًا من نفس نموذج التوزيع الطبيعي وهي امتداد إلى MPT.
التحديات التي تواجه MPT (والتوزيع الطبيعي الأساسي)
لسوء الحظ ، لا يوجد نموذج رياضي مثالي ولكل منهما أوجه قصور وقيود.
إن الافتراض الأساسي بأن عائدات أسعار الأسهم تتبع التوزيع الطبيعي نفسه يتم طرحه مرارًا وتكرارًا. يوجد دليل تجريبي كافٍ على الحالات التي تفشل فيها القيم في الالتزام بالتوزيع الطبيعي المفترض. بناء النماذج المعقدة على مثل هذه الافتراضات قد يؤدي إلى نتائج بانحرافات كبيرة.
بالانتقال إلى MPT ، فإن الحسابات والافتراضات حول معامل الارتباط والتغير المتبقي الثابت (استنادًا إلى البيانات التاريخية) قد لا تنطبق بالضرورة على القيم المتوقعة في المستقبل. على سبيل المثال ، أظهرت أسواق السندات والأسهم ارتباطًا مثاليًا في سوق المملكة المتحدة من 2001 إلى 2004 ، حيث انخفضت العوائد من كلا الأصولين في وقت واحد. في الواقع ، لوحظ العكس خلال فترات تاريخية طويلة قبل عام 2001.
لا يؤخذ سلوك المستثمر في الاعتبار في هذا النموذج الرياضي. يتم إهمال الضرائب وتكاليف المعاملات ، على الرغم من افتراض تخصيص رأس المال الكسري وإمكانية تقصير الأصول.
في الواقع ، قد لا يكون أي من هذه الافتراضات صحيحًا ، مما يعني أن العوائد المالية المحققة قد تختلف اختلافًا كبيرًا عن الأرباح المتوقعة.
الخط السفلي
توفر النماذج الرياضية آلية جيدة لتحديد بعض المتغيرات بأرقام مفردة يمكن تتبعها. ولكن بسبب قيود الافتراضات ، قد تفشل النماذج.
قد لا ينطبق التوزيع الطبيعي ، الذي يشكل أساس نظرية المحفظة ، بالضرورة على الأسهم وأنماط أسعار الأصول المالية الأخرى. نظرية المحفظة في حد ذاتها لديها الكثير من الافتراضات التي ينبغي دراستها بشكل نقدي ، قبل اتخاذ القرارات المالية الهامة.
