استخدامات وحدود التقلب

يحب المستثمرون التركيز على الوعود بعوائد عالية ، لكن عليهم أيضًا أن يسألوا عن مقدار المخاطر التي يجب عليهم تحملها مقابل هذه العوائد. على الرغم من أننا نتحدث غالبًا عن المخاطر بشكل عام ، إلا أن هناك تعبيرات رسمية عن العلاقة بين المخاطرة والمكافأة. على سبيل المثال ، تقيس نسبة Sharpe العائد الزائد لكل وحدة مخاطرة ، حيث يتم احتساب المخاطر كتقلب ، وهو مقياس مخاطر تقليدي وشائع. خصائصه الإحصائية معروفة جيدًا وتتغذى على عدة أطر ، مثل نظرية الحافظة الحديثة ونموذج Black-Scholes. ، نحن ندرس التقلب لفهم استخداماته وحدوده.

الانحراف المعياري السنوي

على عكس التقلب الضمني - الذي ينتمي إلى نظرية تسعير الخيارات وهو تقدير تطلعي يستند إلى إجماع السوق - التقلبات العادية تبدو متخلفة. على وجه التحديد ، هو الانحراف المعياري السنوي للعوائد التاريخية.

تفترض أطر المخاطر التقليدية التي تعتمد على الانحراف المعياري عمومًا أن العوائد تتوافق مع التوزيع العادي على شكل جرس. توزيعات عادية توفر لنا إرشادات مفيدة: حوالي ثلثي الوقت (68.3 ٪) ، يجب أن تندرج العائدات ضمن انحراف معياري واحد (+/-) ؛ و 95 ٪ من الوقت ، يجب أن تندرج العائدات ضمن اثنين من الانحرافات القياسية. هناك نوعان من الرسوم البيانية للتوزيع الطبيعي هما "ذيول" نحيفة وتماثل تام. تشير ذيول النحيل إلى حدوث انخفاض منخفض جدًا (حوالي 0.3٪ من الوقت) من العوائد التي تزيد عن ثلاثة انحرافات معيارية عن المتوسط. التماثل يعني أن تواتر وحجم المكاسب الصعودية هي صورة معكوسة لخسائر الجانب السلبي.

انظر: تأثير التقلب على عوائد السوق

وبالتالي ، فإن النماذج التقليدية تعامل جميع أشكال عدم اليقين باعتبارها مخاطرة ، بغض النظر عن الاتجاه. كما أوضح الكثير من الناس ، هذه مشكلة إذا لم تكن العائدات متماثلة - يشعر المستثمرون بالقلق بشأن خسائرهم "إلى يسار" المتوسط ​​، لكنهم لا يخشون المكاسب على يمين المتوسط.

نوضح هذا الغريب أدناه مع اثنين من الأسهم الخيالية. الأسهم المتساقطة (الخط الأزرق) هي تمامًا دون تشتت وبالتالي تنتج تقلبًا يساوي صفرًا ، لكن السهم المتصاعد - لأنه يُظهر عدة صدمات صعودية ولكن ليس هبوطًا واحدًا - ينتج تقلبًا (الانحراف المعياري) بنسبة 10٪.

الخصائص النظرية

على سبيل المثال ، عندما نحسب تقلب مؤشر S&P 500 اعتبارًا من 31 يناير 2004 ، نصل إلى أي مكان من 14.7٪ إلى 21.1٪. لماذا هذا النطاق؟ لأننا يجب أن نختار فترة زمنية وفترة تاريخية. فيما يتعلق بالفاصل الزمني ، يمكننا جمع سلسلة من العائدات الشهرية أو الأسبوعية أو اليومية (حتى داخل اليومية). ويمكن أن تمتد سلسلة العائدات الخاصة بنا على مدار فترة تاريخية من أي طول ، مثل ثلاث سنوات أو خمس سنوات أو 10 سنوات. أدناه ، قمنا بحساب الانحراف المعياري للعائدات في مؤشر ستاندرد آند بورز 500 على مدى فترة 10 سنوات ، باستخدام ثلاث فترات مختلفة:

لاحظ أن التقلب يزداد مع زيادة الفاصل الزمني ، ولكن ليس تقريبًا: الأسبوعية لا تقارب خمسة أضعاف المبلغ اليومي والشهرية لا تقارب أربعة أضعاف الأسبوعية. لقد وصلنا إلى جانب رئيسي من نظرية المشي العشوائي: قياسات الانحراف المعياري (الزيادات) بما يتناسب مع الجذر التربيعي للوقت. لذلك ، إذا كان الانحراف المعياري اليومي هو 1.1٪ ، وإذا كان هناك 250 يوم تداول في السنة ، فإن الانحراف المعياري السنوي هو الانحراف المعياري اليومي البالغ 1.1٪ مضروبًا بالجذر التربيعي لـ 250 (1.1٪ × 15.8 = 18.1٪). مع العلم بذلك ، يمكننا تحويل الانحرافات المعيارية الفاصلة السنوية لـ S&P 500 عن طريق ضرب الجذر التربيعي لعدد الفواصل الزمنية في السنة:

خاصية نظرية أخرى من التقلبات قد تفاجئك أو لا تدهشك: إنها تؤدي إلى تآكل العوائد. ويرجع ذلك إلى الافتراض الرئيسي لفكرة المشي العشوائي: يتم التعبير عن العائدات بنسب مئوية. تخيل أنك تبدأ بـ 100 دولار ثم تكسب 10٪ لتحصل على 110 دولارات. ثم تخسر 10٪ ، مما يجعلك تحصل على 99 دولارًا (110 دولارات × 90٪ = 99 دولارًا). ثم تربح 10٪ مرة أخرى ، لتبلغ 108.90 دولار (99 دولار × 110٪ = 108.9 دولار). أخيرًا ، تخسر 10٪ لتصل إلى 98.01 دولار. قد يكون الأمر عكسيا ، لكن مديرك يتآكل ببطء على الرغم من أن متوسط ​​ربحك هو 0 ٪!

على سبيل المثال ، إذا كنت تتوقع ربحًا سنويًا متوسطه 10٪ في السنة (أي المتوسط ​​الحسابي) ، اتضح أن ربحك المتوقع على المدى الطويل يقل عن 10٪ في السنة. في الواقع ، سيتم تقليله بحوالي نصف التباين (حيث يكون التباين هو الانحراف المعياري التربيعي). في النظرية الافتراضية الموضحة أدناه ، نبدأ بـ 100 دولار ثم نتخيل خمس سنوات من التقلبات لننتهي بـ 157 دولارًا:

كان متوسط ​​العائدات السنوية على مدى السنوات الخمس 10٪ (15٪ + 0٪ + 20٪ - 5٪ + 20٪ = 50٪ ÷ 5 = 10٪) ، لكن معدل النمو السنوي المركب (CAGR ، أو العائد الهندسي) هو مقياس أكثر دقة من المكاسب المحققة ، وكان 9.49 ٪ فقط. تذبذب تقلب النتيجة ، والفرق هو حوالي نصف الفرق من 1.1 ٪. هذه النتائج ليست من مثال تاريخي ، ولكن من حيث التوقعات ، بالنظر إلى الانحراف المعياري لـ $\sigma$ var (التباين هو مربع الانحراف المعياري) ، ${\sigma }^2$ σ2 ومتوسط ​​المكسب المتوقع $\mu$ ized العائد السنوي المتوقع هو تقريبا $\mu -({\sigma }^2÷2).$ μ- (σ2 ÷ 2).

هل العوائد حسنة السلوك؟

لا شك في أن الإطار النظري أنيق ، لكنه يعتمد على العوائد المحسنة السلوك. وهي التوزيع الطبيعي والمشي العشوائي (أي الاستقلال من فترة إلى أخرى). كيف يمكن مقارنة هذا بالواقع؟ جمعنا عائدات يومية على مدار السنوات العشر الماضية لـ S&P 500 و Nasdaq أدناه (حوالي 2500 ملاحظة يومية):

كما تتوقع ، فإن معدل التذبذب في بورصة ناسداك (الانحراف المعياري السنوي 28.8٪) أكبر من معدل التذبذب في مؤشر S&P 500 (الانحراف المعياري السنوي عند 18.1٪). يمكننا ملاحظة اختلافين بين التوزيع الطبيعي والعوائد الفعلية. أولاً ، العوائد الفعلية لها قمم أطول - مما يعني زيادة عدد العوائد بالقرب من المتوسط. الثانية ، العوائد الفعلية لها ذيول سمين. (تتوافق نتائجنا إلى حد ما مع الدراسات الأكاديمية الأكثر شمولًا ، والتي تميل أيضًا إلى العثور على قمم طويلة وذيول دهنية ؛ المصطلح التقني لذلك هو التقرن). دعنا نقول أننا نعتبر ناقص ثلاثة الانحرافات المعيارية خسارة كبيرة: لقد عانى مؤشر S&P 500 من خسارة يومية بقيمة ناقص ثلاثة انحرافات معيارية حوالي -3.4٪ من الوقت. يتوقع المنحنى العادي حدوث مثل هذه الخسارة ثلاث مرات تقريبًا خلال 10 سنوات ، لكنه حدث بالفعل 14 مرة!

هذه توزيعات لعائدات فاصل منفصلة ، ولكن ماذا تقول النظرية حول العوائد بمرور الوقت؟ كاختبار ، دعنا نلقي نظرة على التوزيعات اليومية الفعلية لـ S&P 500 أعلاه. في هذه الحالة ، كان متوسط ​​العائد السنوي (على مدى السنوات العشر الماضية) حوالي 10.6 ٪ ، وكما نوقش ، كان التقلب السنوي 18.1 ٪. نحن هنا نجري تجربة افتراضية من خلال البدء بمبلغ 100 دولار والاحتفاظ بها على مدى 10 سنوات ، لكننا نعرض الاستثمار كل عام لنتائج عشوائية بلغت في المتوسط ​​10.6 ٪ بانحراف معياري قدره 18.1 ٪. تمت هذه التجربة 500 مرة ، مما يجعلها محاكاة مونت كارلو. فيما يلي نتائج السعر النهائية لـ 500 تجربة:

يظهر التوزيع الطبيعي كخلفية فقط لتسليط الضوء على نتائج الأسعار غير الطبيعية للغاية. من الناحية الفنية ، تكون نتائج السعر النهائية غير طبيعية (بمعنى أنه إذا تم تحويل المحور السيني إلى السجل الطبيعي لـ x ، فسيبدو التوزيع أكثر طبيعية). النقطة المهمة هي أن العديد من نتائج الأسعار قد وصلت إلى اليمين: من بين 500 تجربة ، أنتجت ست نتائج نتيجة لنهاية الفترة بقيمة 700 دولار! تمكنت هذه النتائج القليلة الثمينة من كسب أكثر من 20 ٪ في المتوسط ​​، كل عام ، على مدى 10 سنوات. على الجانب الأيسر ، نظرًا لأن انخفاض الرصيد يقلل من الآثار التراكمية لخسائر النسبة المئوية ، فقد حصلنا على عدد قليل من النتائج النهائية التي كانت أقل من 50 دولارًا. لتلخيص فكرة صعبة ، يمكننا أن نقول أن عوائد الفاصل - التي يتم التعبير عنها بالنسب المئوية - يتم توزيعها عادة ، ولكن يتم توزيع نتائج السعر النهائية بشكل طبيعي.

SEE: نماذج متعددة المتغيرات: تحليل مونت كارلو

أخيرًا ، هناك اكتشاف آخر لتجاربنا يتوافق مع "آثار التآكل" للتقلبات: إذا كان استثمارك يربح المتوسط ​​كل عام تمامًا ، فستحتفظ بحوالي 273 دولارًا في النهاية (10.6٪ مركب على 10 سنوات). ولكن في هذه التجربة ، كان الربح الإجمالي المتوقع لدينا أقرب إلى 250 دولارًا. وبعبارة أخرى ، كان متوسط ​​الكسب السنوي (الحسابي) 10.6 ٪ ، ولكن الكسب التراكمي (الهندسي) كان أقل.

من المهم أن نأخذ في الاعتبار أن محاكاةنا تفترض السير العشوائي: من المفترض أن تكون العائدات من فترة إلى أخرى مستقلة تمامًا. لم نثبت ذلك بأي حال من الأحوال ، وهو ليس افتراضًا تافهًا. إذا كنت تعتقد أن العائدات تتبع الاتجاهات ، فأنت تقول تقنياً إنها تظهر ارتباطًا تسلسليًا إيجابيًا. إذا كنت تعتقد أنها تعود إلى الوسط ، فأنت تقني من الناحية الفنية أنها تظهر ارتباطًا سلبيًا سلبيًا. لا موقف يتوافق مع الاستقلال.

الخط السفلي

التقلب هو الانحراف المعياري السنوي للعوائد. في الإطار النظري التقليدي ، لا يقيس المخاطر فحسب ، بل يؤثر على توقع عوائد طويلة الأجل (متعددة الفترات). على هذا النحو ، فإنه يطلب منا أن نقبل الافتراضات المشكوك فيها أن العائدات الفاصلة يتم توزيعها ومستقلة عادة. إذا كانت هذه الافتراضات صحيحة ، فالتقلب العالي عبارة عن سيف ذو حدين: يؤدي إلى تآكل العائد المتوقع على المدى الطويل (فهو يقلل من المتوسط ​​الحسابي إلى المتوسط ​​الهندسي) ، ولكنه يوفر لك أيضًا فرصًا أكبر لتحقيق بعض المكاسب الكبيرة.

انظر: التقلب الضمني: شراء منخفضة وبيع عالية